Обобщённое число такси

Обобщённое число такси (ОЧТ), обозначаемое Taxicab(k, j, n) это наименьшее число, которое может быть представлено n различными суммами j натуральных чисел в положительной степени k. Taxicab(3, 2, n) совпадает с числом такси.

Леонард Эйлер доказал, что $\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(4,2,2)=635318657=59^4+158^4=133^4+134^4,$ но Taxicab(4, 2, 3) неизвестно.

Неизвестно ни одного натурального числа, которое может быть представлено суммой двух и более пятых степеней по крайней мере двумя способами, а значит неизвестны Taxicab(5, 2, n) для всех n ≥ 2 .

Тривиальные последовательности ОЧТ

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(k,j,1)=j$

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(1,2,n)=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=\cdots =n+n$

Некоторые нетривиальные разложения и ОЧТ

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(3,2,2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3$ — число, которое связывают с именем Рамануджана, хотя впервые оно было опубликовано Бернаром Френиклем де Бесси в 1657 году..

$\mathrm{Taxicab}(5,3,2)=1375298099=62^5+54^5+3^5=67^5+28^5+24^5$

k	j	Taxicab(k, j,2)	Taxicab(k, j,3)	Taxicab(k, j,4)	OEIS
2	2	50	325	1105	Шаблон:OEIS2C
2	3	27	54	129	Шаблон:OEIS2C
2	4	31	28	52	Шаблон:OEIS2C
3	2	1729	87539319	6963472309248	Шаблон:OEIS2C
3	3	251	5104	13896	Шаблон:OEIS2C
3	4	219	1225	1979	Шаблон:OEIS2C
4	2	635318657			Шаблон:OEIS2C
4	3	2673

Родственные задачи

Поиск ОЧТ сводится к поиску «минимального» решения системы диофантовых уравнений для сумм степеней в множестве натуральных чисел. Подобные решения ищутся также в множестве целых чисел и для разностей степеней. Например, известно, что

$25900232113758000049920=401168^4-17228^4=415137^4-248289^4=421296^4-273588^4$

Ссылки

• Generalised Taxicab Numbers and Cabtaxi Numbers
• Taxicab Numbers - 4th powers
• Taxicab numbers by Walter Schneider