Число такси

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

Название чи́сла получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана. Харди рассказывал: Шаблон:Cquote

Определение

Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернаром Френиклем де Бесси и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану. В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n).

Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами. Концепция Шаблон:Не переведено 5 была предложена как менее ограничивающая альтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. Обобщённое число такси ставит задачу и для более чем двух слагаемых при произвольной степени.

Известные числа такси

Известны следующие шесть чисел такси (Шаблон:OEIS):

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(1)=2& =1^3+1^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(2)=1729& =1^3+12^3\\ & =9^3+10^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(3)=87539319& =167^3+436^3\\ & =228^3+423^3\\ & =255^3+414^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(4)=6963472309248& =2421^3+19083^3\\ & =5436^3+18948^3\\ & =10200^3+18072^3\\ & =13322^3+16630^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(5)=48988659276962496& =38787^3+365757^3\\ & =107839^3+362753^3\\ & =205292^3+342952^3\\ & =221424^3+336588^3\\ & =231518^3+331954^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(6)=24153319581254312065344& =582162^3+28906206^3\\ & =3064173^3+28894803^3\\ & =8519281^3+28657487^3\\ & =16218068^3+27093208^3\\ & =17492496^3+26590452^3\\ & =18289922^3+26224366^3\end{array}$

Оценки сверху чисел такси

Известны числа, которые можно представить суммами более 6 кубов, но для них не доказано, что они минимальные числа, обладающие этим свойством.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Ta}(7)& \le & 24885189317885898975235988544\\ & =& 2648660966^3+1847282122^3\\ & =& 2685635652^3+1766742096^3\\ & =& 2736414008^3+1638024868^3\\ & =& 2894406187^3+860447381^3\\ & =& 2915734948^3+459531128^3\\ & =& 2918375103^3+309481473^3\\ & =& 2919526806^3+58798362^3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Ta}(8)& \le & 50974398750539071400590819921724352\\ & =& 299512063576^3+288873662876^3\\ & =& 336379942682^3+234604829494^3\\ & =& 341075727804^3+224376246192^3\\ & =& 347524579016^3+208029158236^3\\ & =& 367589585749^3+109276817387^3\\ & =& 370298338396^3+58360453256^3\\ & =& 370633638081^3+39304147071^3\\ & =& 370779904362^3+7467391974^3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Ta}(9)& \le & 136897813798023990395783317207361432493888\\ & =& 41632176837064^3+40153439139764^3\\ & =& 46756812032798^3+32610071299666^3\\ & =& 47409526164756^3+31188298220688^3\\ & =& 48305916483224^3+28916052994804^3\\ & =& 51094952419111^3+15189477616793^3\\ & =& 51471469037044^3+8112103002584^3\\ & =& 51518075693259^3+5463276442869^3\\ & =& 51530042142656^3+4076877805588^3\\ & =& 51538406706318^3+1037967484386^3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Ta}(10)& \le & 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\ & =& 15695330667573128^3+15137846555691028^3\\ & =& 17627318136364846^3+12293996879974082^3\\ & =& 17873391364113012^3+11757988429199376^3\\ & =& 18211330514175448^3+10901351979041108^3\\ & =& 19262797062004847^3+5726433061530961^3\\ & =& 19404743826965588^3+3058262831974168^3\\ & =& 19422314536358643^3+2059655218961613^3\\ & =& 19426825887781312^3+1536982932706676^3\\ & =& 19429379778270560^3+904069333568884^3\\ & =& 19429979328281886^3+391313741613522^3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Ta}(11)& \le & 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\ & =& 11410505395325664056^3+11005214445987377356^3\\ & =& 12815060285137243042^3+8937735731741157614^3\\ & =& 12993955521710159724^3+8548057588027946352^3\\ & =& 13239637283805550696^3+7925282888762885516^3\\ & =& 13600192974314732786^3+6716379921779399326^3\\ & =& 14004053464077523769^3+4163116835733008647^3\\ & =& 14107248762203982476^3+2223357078845220136^3\\ & =& 14120022667932733461^3+1497369344185092651^3\\ & =& 14123302420417013824^3+1117386592077753452^3\\ & =& 14125159098802697120^3+657258405504578668^3\\ & =& 14125594971660931122^3+284485090153030494^3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Ta}(12)& \le & 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\ & =& 33900611529512547910376^3+32696492119028498124676^3\\ & =& 38073544107142749077782^3+26554012859002979271194^3\\ & =& 38605041855000884540004^3+25396279094031028611792^3\\ & =& 39334962370186291117816^3+23546015462514532868036^3\\ & =& 40406173326689071107206^3+19954364747606595397546^3\\ & =& 41606042841774323117699^3+12368620118962768690237^3\\ & =& 41912636072508031936196^3+6605593881249149024056^3\\ & =& 41950587346428151112631^3+4448684321573910266121^3\\ & =& 41960331491058948071104^3+3319755565063005505892^3\\ & =& 41965847682542813143520^3+1952714722754103222628^3\\ & =& 41965889731136229476526^3+1933097542618122241026^3\\ & =& 41967142660804626363462^3+845205202844653597674^3\end{array}$

История открытия

Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана, первым опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 году.

Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 . Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 . О числе Ta(6) объявил Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 . Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006.

Числа такси без кубов

Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 1³. Тогда число такси T записывается как T = x³ + y³, где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил Шаблон:Не переведено 5 (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Это число

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³.

Наименьшее число такси без кубов с четырьмя вариантами представления обнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это число

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³

Шаблон:OEIS.

См. также

• Диофантово уравнение
• Гипотеза Эйлера
• Обобщённое число такси
• Гипотеза Била
• Уравнение Якоби — Маддена
• Шаблон:Не переведено 5
• Пифагорова четвёрка
• Шаблон:Не переведено 5, список связанных со степенями гипотез и теорем

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
• Шаблон:Cite video Шаблон:Wayback
• Taxicab and other maths at Euler
• Шаблон:Cite web