Обобщённые интегралы Френеля

Обобщённые интегралы Френеля (интегралы Бёмера) — специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.

Обобщённый косинус Френеля:

$\mathrm{C}(x,y)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{y-1}\cos (t)dt$

Обобщённый синус Френеля:

$\mathrm{S}(x,y)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{y-1}\sin (t)dt$

Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера следующим образом:

$\mathrm{S}(y)=\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{S}(y^2,\frac{1}{2})$

$\mathrm{C}(y)=\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{C}(y^2,\frac{1}{2})$

Также через обобщённые интегралы Френеля можно выразить интегральный синус и интегральный косинус:

$\mathrm{Si}(x)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{S}(x,0)$

$\mathrm{Ci}(x)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{C}(x,0)$