Интегралы Френеля

S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать $\pi t^2/2$ вместо $t^2$, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в ряд

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен $\pi t^2/2$, а не $t^2$, как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}=\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^{11}}{1320}-\cdots ,$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}=x-\frac{x^5}{10}+\frac{x^9}{216}-\cdots .$

Некоторые авторы используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций $\frac{\pi }{2}{t}^2$. Таким образом определенные интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной $t\to \sqrt{\frac{\pi }{2}}t$ и умножением интегралов на $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$.

Спираль Корню

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при $t\to \pm \mathrm{\infty }$.

Шаблон:Основная статья Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

$C{}^{\prime }(t{)}^2+S{}^{\prime }(t{)}^2={\sin }^2(t^2)+{\cos }^2(t^2)=1,$

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.

Свойства

• $S(x)$ и $C(x)$ — нечётные функции $x$.

• Асимптотики интегралов Френеля при $x\to \mathrm{\infty }$ даются формулами

$S(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\frac{\text{sign}(x)}{2}-\frac{\cos (x^2)}{x\sqrt{2\pi }}[1+O(x^{-4})]-\frac{\sin (x^2)}{x^3\sqrt{8\pi }}[1+O(x^{-4})]),$

$C(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\frac{\text{sign}(x)}{2}+\frac{\sin (x^2)}{x\sqrt{2\pi }}[1+O(x^{-4})]-\frac{\cos (x^2)}{x^3\sqrt{8\pi }}[1+O(x^{-4})]).$

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{-i}x))$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{-i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{-i}x))$.

• Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при $x\to \mathrm{\infty }$ равен

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Вычисление

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при $x\to \mathrm{\infty }$ могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

$e^{-\frac{1}{2}{t}^2}$

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом $y=x$, $x⩾0$ и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При $R\to \mathrm{\infty }$ интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}},$

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также

• Дифракция Френеля
• Функция Доусона
• Обобщённые интегралы Френеля

Примечания

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) Шаблон:Ref-en

Ссылки

• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².) Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-en.