Функция Доусона

Функция Доусона $F(x)=D_{+}(x)$, вблизи начала координат

Функция Доусона $D_{-}(x)$, вблизи начала координат

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона) — неэлементарная функция действительного переменного:

$F(x)=e^{-x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t^2}dt.$

Свойства

Общие свойства

• Нечётная функция: $F(-x)=-F(x)$.
• Производная: $\frac{d}{dx}F(x)=1-2xF(x)$.
• Неопределённый интеграл: $\int F(x)dx=\frac{1}{2}{x}^2{}_2{F}_2(1,1;\frac{3}{2},2;-x^2)$, где ${}_2{F}_2(a,b;c,d;z)$ - обобщённая гипергеометрическая функция.
• Является дробной производной обратной экспоненты: $D^{-1/2}{e}^{-x}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}F(\sqrt{x})$.
• Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения $1-\sqrt{\pi }{e}^{-x^2}x\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}(x)=0$: $F(0,9241388730)=0,541044246$. Дроби задаются последовательностями цифр Шаблон:OEIS и Шаблон:OEIS.
• Имеет точку перегиба: $F(1,5019752683)=0,4276866160$ (Шаблон:OEIS).
• Раскладывается в цепные дроби:

$F(z)=\frac{1}{1+\frac{2z^2}{3-\frac{4z^2}{5+\frac{6z^2}{7-\frac{8z^2}{9+\cdots }}}}}$

$F(z)=\frac{z}{1+2z^2-\frac{4z^2}{3+2z^2-\frac{8z^2}{5+2z^2-\frac{12z^2}{7+2z^2-\cdots }}}}$

Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

$F(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}(x)=-\frac{i\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(ix)$

где erfi является мнимой частью функции ошибок, Шаблон:Nowrap

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, Шаблон:Nowrap а для |x| больших, Шаблон:Nowrap Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

$F(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{2}^k}{(2k+1)!!}{x}^{2k+1}=x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{4}{15}{x}^5-\cdots$

$F(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-2{)}^n}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}{x}^{2n+1}=x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{4}{15}{x}^5-\dots$

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около $+\mathrm{\infty }$, имеется асимптотическое разложение:

$F(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3}+\frac{3}{8x^5}+\dots +\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}{x}^{2n+1}}+o(x^{-2n-2})$

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

$\frac{dF}{dx}+2xF=1$

с начальным условием F (0) = 0.

Обобщения

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: $D_{+}(x)=e^{-x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t^2}dt$, тогда вводят "симметричную" её в нотации: $D_{-}(x)=e^{x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$ ; в таких обозначениях:

$D_{+}(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}(x)$ и

$D_{-}(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)$.

См. также

• Интеграл Френеля
• Функция ошибок

Литература

• Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

Ссылки

• Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
• Шаблон:MathWorld
• Функция ошибок
• Реализации функции Доусона