Дробная производная

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Дробные производные на отрезке вещественной оси

Для функции $f(x)$, заданной на отрезке $[a,b]$, каждое из выражений

$D_{a+}^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f(t)dt}{(x-t{)}^{\alpha }},D_{b-}^{\alpha }f(x)=-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}\frac{d}{dx}\underset{x}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)dt}{(t-x{)}^{\alpha }},$

где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция, называется дробной производной порядка $\alpha$, $0<\alpha <1$, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка $p$ ($p$ — вещественное положительное число) определяется через интеграл Коши: $D_C^{p}f(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(p)}\underset{C}{\int }\frac{f(u)}{(t-u{)}^{p+1}}du$, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру $C$ на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

$F[D^k\psi (x)](\omega )=(-i\omega {)}^k(F\psi )(\omega )(k\in \mathbb{N}).$

Определение через общую формулу n-й производной

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов

Пусть $f(x)$ есть моном вида

$f(x)=x^k.$

Первая производная, как и обычно

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k{x}^{k-1}.$

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

$\frac{d^n}{d{x}^n}{x}^k=\frac{k!}{(k-n)!}{x}^{k-n},$

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

$\frac{d^n}{d{x}^n}{x}^k=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k-n+1)}{x}^{k-n}.$

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}x=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{2}+1)}{x}^{1-\frac{1}{2}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(2)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})}{x}^{\frac{1}{2}}=2{\pi }^{-\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}.$

Повторяя процедуру, будем иметь

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}2{\pi }^{-\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}=2{\pi }^{-\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}{x}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2{\pi }^{-\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^0=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1)}=1,$

что представляет собой ожидаемый результат

$\left(\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\right)x=\frac{d}{dx}x=1.$

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая $\mathrm{\Gamma }$ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

${\left(\frac{d}{dx}\right)}^a{\left(\frac{d}{dx}\right)}^b={\left(\frac{d}{dx}\right)}^{a+b}$

на всех $x^k$, таких что $k-a$, $k-b$ и $k-a-b$ не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная в рассмотренном смысле имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная совпадает лишь с одной из первообразных. В этом случае можно говорить о главном значении первообразной.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций

Пусть

$f(x)=\sin (ax+b).$

Поскольку для любых a и b

$\frac{d^n}{d{x}^n}\sin (ax+b)=a^n\sin (ax+b+\frac{\pi n}{2}),$

то, полагая $n=1/2$,

$\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\sin (ax+b)=\sqrt{a}\sin (ax+b+\frac{\pi }{4}).$

Действительно,

$\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}(\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\sin (ax+b))=\sqrt{a}\sqrt{a}\sin (ax+b+\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4})=a\cos (ax+b)=f^{\prime }(x).$

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при $n=-1$ формула n-й производной даёт одну из первообразных функции $f(x)$.

Свойства

Основные свойства производной нецелого порядка:

• Линейность

$D_t^q(f(t)+g(t))=D_t^q(f(t))+D_t^q(g(t))$

$D^q(ax)=a{D}^q(x)$

• Правило нуля

$D^{0}x=x$

• Дробная производная произведения

$D_t^q(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{j})D_t^j(f(t))D_t^{q-j}(g(t))$

• Полугрупповое свойство

$D^a{D}^{b}f(t)=D^{a+b}f(t)$

в общем случае не выполняется .

См. также

• Дифферинтеграл
• Дробная динамика
• Наследственная механика

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• журнал: «Fractional Calculus & Applied Analysis», (с 1998 по 2014) и Fractional Calculus and Applied Analysis (с 2015)
• журнал: Fractional Differential Equations (FDE)
• журнал Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• журнал: Progress in Fractional Differentiation and Applications
• журнал: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Applications of Fractional CalculusШаблон:Ref-en
• Fractional Calculus, the Riemann-Liouville definition of the fractional integral, a definition of fractional derivatives, and a list of applications of the calculus.Шаблон:Ref-en
• Fractional CalculusШаблон:Ref-en
• Fractional Calculus — Contains introductory notes on fractional calculusШаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld.
• Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Минск, 1987Шаблон:Недоступная ссылка