Обобщённый потенциал

Обобщённый потенциал — понятие классической механики, применяемое для удобного вычисления обобщённых сил, зависящих от обобщённых скоростейШаблон:Sfn.

Формулировка

Рассмотрим механическую систему с $s$ степенями свободы, с кинетической энергией $T$ и обобщёнными силами $Q_m$. Здесь всюду $m=1,2,...,s$. Рассмотрим выражение для потенциальной энергии в виде функции $V=V(q_1,q_2,...,q_s,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_s,t)$. Потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_m}=Q_m$,

имели вид

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_m}=0$, где $L=T-V$, $V$ - обобщённый потенциал.

Обобщённым потенциалом называется функция $V$, удовлетворяющая уравнению

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial V}{\partial q_m}=Q_m$,

Найдём зависимость функции $V$ от обобщённых скоростей.

$Q_m=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial V}{\partial q_m}=\sum _{\mu =1}^s\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\dot{q}}_m\partial {\dot{q}}_{\mu }}{\ddot{q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^s\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\dot{q}}_m\partial q_{\mu }}{\dot{q}}_{\mu }+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\dot{q}}_m\partial t}-\frac{\partial V}{\partial q_m}$

Так как обобщённые силы явно от обобщённых ускорений не зависят, то обобщённый потенциал может быть только линейной функцией от обобщённых скоростей:

$V=\mathrm{\Pi }(q_m,t)+\sum _{\mu =1}^s{\mathrm{\Pi }}_{\mu }(q_m,t){\dot{q}}_{\mu }$

Далее:

$Q_m=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial V}{\partial q_m}=\frac{d{\mathrm{\Pi }}_m}{dt}-\frac{\partial }{\partial q_m}[\sum _{\mu =1}^s{\mathrm{\Pi }}_{\mu }{\dot{q}}_{\mu }+\mathrm{\Pi }]=\sum _{\mu =1}^s\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_m}{\partial q_{\mu }}{\dot{q}}_{\mu }+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_m}{\partial t}-\sum _{\mu =1}^s\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{\mu }}{\partial q_m}{\dot{q}}_{\mu }-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q_m}=-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q_m}+\sum _{\mu =1}^s(\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_m}{\partial q_{\mu }}-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{\mu }}{\partial q_m})+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_m}{\partial t}$.

Таким образом:

$Q_m=-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q_m}+\sum _{\mu =1}^s{\gamma }_{m\mu }{\dot{q}}_{\mu }+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_m}{\partial t}$, где ${\gamma }_{m\mu }=\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_m}{\partial q_{\mu }}-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{\mu }}{\partial q_m}$

В случае, если функции ${\mathrm{\Pi }}_m$ не зависят явно от времени, то обобщённые силы складываются из потенциальных сил $-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q_m}$ и гироскопических сил $\sum _{\mu =1}^s{\gamma }_{m\mu }{\dot{q}}_{\mu }$.Шаблон:Sfn

Пример

Рассмотрим силу Лоренца, действующую на точечный электрический заряд в электромагнитном поле: $F=e[E+\frac{v}{c}\times B]$, где $e$ - электрический заряд, $v$ - скорость заряда, $E$ - напряжённость электрического поля, $B$ - индукция магнитного поля, $c$ - скорость света. Обобщённый потенциал для силы Лоренца можно ввести формулой: $V=e\varphi -\frac{e}{c}vA=e\varphi -\frac{e}{c}(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y+\dot{z}{A}_z)$, где $\varphi$ - скалярный потенциал, $A$ - векторный потенциал Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга