Обратная параболическая интерполяция

Обратная параболическая интерполяция — итерационный численный метод нахождения корня уравнения $f(x)=0$, где $f(x)$ — непрерывная функция одной переменной. Идея метода состоит в параболической интерполяции функции по трём точкам. Но в отличие от метода Мюллера интерполируется функция обратная к $f(x)$. Метод эффективнее более простых методов, если функция дважды дифференцируема. Алгоритм используется в качестве составной части популярного метода Брента.

Метод

Алгоритм обратной параболической интерполяции задаётся рекуррентной формулой:

$x_{n+1}=\frac{f_{n-1}{f}_n}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_n)}{x}_{n-2}+\frac{f_{n-2}{f}_n}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_n)}{x}_{n-1}$

$+\frac{f_{n-2}{f}_{n-1}}{(f_n-f_{n-2})(f_n-f_{n-1})}{x}_n,$

где $f_k=f(x_k)$. Как следует из формулы, для начала вычислений необходимы три начальные точки $x_0,x_1,x_2$ и желательно, но не обязательно, чтобы корень находился в задаваемом ими отрезке.

Доказательство формулы метода

Рассмотрим три точки $x_{n-2},x_{n-1},x_n$ как значения функции от аргументов $f_{n-2},f_{n-1},f(n)$. Интерполяционный многочлен Лагранжа для этих точек будет выглядеть следующим образом

$f^{-1}(y)=\frac{(y-f_{n-1})(y-f_n)}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_n)}{x}_{n-2}+\frac{(y-f_{n-2})(y-f_n)}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_n)}{x}_{n-1}$

$+\frac{(y-f_{n-2})(y-f_{n-1})}{(f_n-f_{n-2})(f_n-f_{n-1})}{x}_n.$

Поскольку мы ищем корень $f(x)$ , то $y=f(x)=0$ и эта замена даёт искомую рекуррентную формулу.

Сходимость

Если функция достаточно гладкая, начальные точки близки к корню и корень не является экстремумом, то метод сходится очень быстро. Порядок асимптотической сходимости метода около 1,8. Однако иногда метод не эффективен или вообще не приводит к результату. В частности, если два значения функции случайно совпали, то продолжение итераций невозможно. Этот недостаток устраняется комбинированием метода с более робастными методами меньшей скорости сходимости, что, в частности, сделано в методе Брента.

Сравнение с другими методами

Обратная параболическая интерполяция тесно связана с методом Мюллера, который имеет примерно такой же порядок сходимости и с методом секущих, порядок сходимости которого меньше. В отличие от метода Ньютона, который имеет большую скорость сходимости (2), метод не требует вычисления производных.

Ссылки

• James F. Epperson, An introduction to numerical methods and analysis, pages 182—185, Wiley-Interscience, 2007. ISBN 978-0-470-04963-1