Общая тауберова теорема Винера

Общая тауберова теорема Винера — теорема об асимптотических свойствах линейных преобразований функций, имеющих не равное нулю преобразование Фурье. Была доказана Норбертом Винером в 1932 году.

Формулировка

Пусть $K_1$ — функция из пространства $L_1$, преобразование Фурье которой не обращается в нуль ни в одной точке оси $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$. Пусть $K_2$ принадлежит $L_1$, а функция $f(x)$ ограничена на промежутке $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$. Если $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_1(x-y)f(y)dy=A\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_1(x)dx(1)$, то $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_2(x-y)f(y)dy=A\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_2(x)dx(2)$. С другой стороны, пусть $K_1$ — функция из пространства $L_1$, преобразование Фурье которой имеет вещественный нуль. Тогда найдется ограниченная функция $f(x)$ и функция $K_2(x)$, принадлежащая $L_1$, такая, что $(1)$ выполняется, а $(2)$ не имеет места.

Пояснения

Здесь $L_1$ — обозначает пространство вещественных неограниченных функций, для которых существует предел $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{A,B\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{A,B}(x)dx$.

Литература

• Шаблон:Книга