Оптико-механическая аналогия

Оптико-механическая аналогия — аналогия между описаниями движения материальных частиц в стационарном потенциальном поле в классической механике и распространения движения световых лучей в изотропной оптически неоднородной среде. Была установлена Гамильтоном в 1834 г. В 1926 г. была использована при создании квантовой механики де Бройлем и Шредингером для описания наличия у материальных объектов одновременно корпускулярных и волновых свойств.

Формулировка

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся в стационарном потенциальном поле $U(r)$. Её функцию действия можно представить в виде $S(\overrightarrow{r},t)=-Et+S_0(\overrightarrow{r})$, где "укороченное" действие $S_0(\overrightarrow{r})$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби $(\mathrm{\nabla }{S}_0{)}^2=2m[E-U(\overrightarrow{r})]$Шаблон:Sfn.

Это уравнение совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала: $(\mathrm{\nabla }L{)}^2=n^2(\overrightarrow{r})$, где $L$ - так называемый эйконал, $n(\overrightarrow{r})$ - показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волнаШаблон:Sfn.

Траектория классической частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия, одной из её точек. Аналогично этому, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности постоянной фазы электромагнитной волныШаблон:Sfn.

Рассмотрим геометрическое место точек пространства, в которых действие классической частицы имеет некоторое постоянное значение $S(r,t)=-Et+S_0(r)=const$. Дифференцируя это равенство по времени, получаем: $-E+\mathrm{\nabla }{S}_0\frac{dr}{dl}\frac{dl}{dt}=0$ откуда, учитывая что $\frac{dr}{dl}=\frac{\mathrm{\nabla }{S}_0}{\left|\mathrm{\nabla }{S}_0\right|}$ и $\mathrm{\nabla }{S}_0=p$, следует $u=\frac{E}{\left|\mathrm{\nabla }{S}_0\right|}=\frac{E}{p}=\frac{E}{mv}$Шаблон:Sfn.

Аналогично этому, в оптике поверхности равной фазы описываются уравнением $k_{0}L(\overrightarrow{r})-\omega t=const$. Дифференцируя его по времени, получаем скорость распространения фронта электромагнитной волны: $\frac{dl}{dt}=\frac{\omega }{k_0\left|\mathrm{\nabla }L\right|}=\frac{\omega }{k}$Шаблон:Sfn.

Сопоставляя формулы, описывающие распространение классических частиц и распространение световых лучей, нетрудно установить аналогию между нимиШаблон:Sfn:

Величина	Классическая механика	Оптика
Действие	$S(\overrightarrow{r},t)$	$k_{0}L(\overrightarrow{r})-\omega t$
"Укороченное" действие	$S_0(\overrightarrow{r})$	$k_{0}L(\overrightarrow{r})$
Энергия	$E$	$\omega$
Импульс	$\overrightarrow{p}$	$\overrightarrow{k}$
-	$2m[E-U(\overrightarrow{r})]$	$n^2(\overrightarrow{r})$

Для того, чтобы соответствие между величинами классической механики и оптики было полным, необходимо величины оптики умножить на коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка.

См. также

• Постоянная Планка

Литература

• Шаблон:Книга