Ортогональные траектории

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если ${y_{1}}^{'}$ — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а ${y_{2}}^{'}$ — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то ${y_{1}}^{'}$ и ${y_{2}}^{'}$ должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

{y_{1}}^{'} = - \frac{1}{{y_{2}}^{'}}

Пусть у нас есть семейство кривых $g (x, y) = C$ , где $C$ — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений:

\nabla f (x, y) \cdot \nabla g (x, y) = 0

Используя определение градиента, можно записать:

\nabla f (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})

Таким образом:

\nabla f (x, y) \cdot \nabla g (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} = 0

Примеры

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением $y = k x$ . Дифференцируя данное уравнение по переменной $x$ , получаем:

y^{'} = k = c o n s t

Исключим параметр $k$ из системы:

{\begin{matrix} y = k x \\ y^{'} = k \end{matrix} \Rightarrow y^{'} = \frac{y}{x}

Заменим $y^{'}$ на $(- \frac{1}{y^{'}})$ :

- \frac{1}{y^{'}} = \frac{y}{x} \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

y d y = - x d x \Rightarrow \int y d y = - \int x d x \Rightarrow \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} = C

Данное уравнение есть не что иное, как уравнение окружности радиуса $\sqrt{2 C}$ . Действительно:

R^{2} = 2 C \Rightarrow x^{2} + y^{2} = R^{2}

Литература

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)

Ссылки