Основная теорема дифференциальной геометрии кривых

Основная теорема дифференциальной геометрии кривых описывает гладкие кривые в трёхмерном евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности.

Формулировка

Пусть $s\mapsto \kappa (s)$ и $s\mapsto \tau (s)$ — две гладкие функции, определённые на интервале $𝕀$. Предположим, что $\kappa (s)>0$ для всех $s$. Тогда существует гладкая кривая $\gamma :𝕀\to {ℝ}^3$ с единичной скоростью, кривизной $\kappa (s)$, и кручением $\tau (s)$ при любом $s\in 𝕀$. Более того, $\gamma$ однозначно определена с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.

Вариации и обобщения

• Для описания плоских кривых достаточно знать ориентированную кривизну кривой.
• В размерностях выше 3 требуются аналоги кручения высших порядков.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга