Осциллятор Дуффинга

Осциллятор Дуффинга (Шаблон:Lang-en) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой частицу, движущуюся в потенциале вида $U(x)=a{x}^2/2+b{x}^4/4$. При $b=0$ система сводится к обычному гармоническому осциллятору.

Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность моделирования хаотической динамики.

Дифференциальное уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид:

$m\ddot{x}=-ax-b{x}^3$,

где $x$ и $m$ соответственно, координата частицы и её масса.

Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуффингом в 1918 году. Дискретная его версия известна как Шаблон:Нп3.

Решение этого уравнения Дуффинга выражается через эллиптические функции: $x(t)=a_{1}cn(u,k),u=a_{2}t+b$.

Зависимость амплитуды от частоты

В отсутствие диссипации (трения), гармонический (линейный) осциллятор, находящийся под действием внешней периодической силы $F=F_0\cos (\omega t)$, испытывает резонанс, если частота этой силы $\omega$ совпадает с собственной частотой осциллятора ${\omega }_0=\omega$. При близости возбуждающей частоты частоте резонанса осциллятор совершает колебания конечной амплитуды. Последняя пропорциональна $({\omega }_0-\omega {)}^{-2}$ и обращается в бесконечность точно при резонансе.

В отличие от гармонического осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Осциллятор Даффинга на Сколарпедии