Относительная внутренность

Относительная внутренность множества — уточнение концепции внутренности, применяется при работе со множествами низкой размерности в пространствах высокой размерности. Для заданного множества $S$ определяется как его внутренность в аффинной оболочке множества $S$Шаблон:Sfn:

$\mathrm{relint}S:=\{x\in S\mid \mathrm{\exists }\epsilon >0,N_{\epsilon }(x)\cap \mathrm{aff}S\subseteq S\}$,

где $\mathrm{aff}S$ означает аффинную оболочку множества $S$, а $N_{\epsilon }(x)$ — шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$. Может быть использована любая метрика для построения шара: все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества $C\subseteq {ℝ}^n$ относительная внутренность может быть определена какШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\mathrm{relint}C:=\{x\in C\mid \mathrm{\forall }y\in C\mathrm{\exists }\lambda >1:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Первое издание — 1970
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга