Отображение удвоения

В теории динамических систем отображение удвоения окружности — отображение $x\mapsto 2xmod1$ окружности $S^1=ℝ/\mathbb{Z}$ в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.

Свойства

• Отображение удвоения — необратимое и является накрытием степени 2.
• Отображение удвоения является растягивающим.
• Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
• Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
• Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
• Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: $f(x)=\{2x\}$, где $\{\cdot \}$ — дробная часть.
• Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения $S^1=[0,1/2[\cup [1/2,1[$, сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
• Энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.