Отражающая функция Мироненко

Отража́ющая фу́нкция — функция, связывающая прошлое состояние системы с её будущим состоянием в симметричный момент времени. Понятие отражающей функции введено Владимиром Ивановичем Мироненко.

Определение

Пусть $\phi (t;t_0,x)$ есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений $\dot{x}=X(t,x),$ решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой $F(t,x)=\phi (-t;t,x).$

Применение

Для $2\omega$-периодической по переменной $t$ системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией $F(t,x)$ отображение $\mathrm{\Pi }(x)$ за период $[-\omega ;\omega ]$ (отображение Пуанкаре) находится по формуле $\mathrm{\Pi }(x)=F(-\omega ,x).$ Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные $(\omega ,x_0)$ для $2\omega$-периодических решений $\phi (t;-\omega ,x_0)$ рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция $F(t,x)$ системы $\dot{x}=X(t,x)$ удовлетворяет так называемому основному соотношению

$F_t+F_{x}X+X(-t,F)=0,$ $F(0,x)=x.$

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение $\mathrm{\Pi }(x)$ за период $[-\omega ;\omega ]$ может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

См. также

• Отображение Пуанкаре

Литература

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений Шаблон:Wayback. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Ссылки

• Сайт об отражающей функции Шаблон:Wayback
• How to construct equivalent differential systems Шаблон:Wayback