Парадокс Мириманова

Парадокс Мириманова (парадокс класса всех фундированных классов) — парадокс наивной теории множеств, являющийся обобщением парадокса Бурали-ФортиШаблон:Sfn. Назван именем математика Дмитрия Мириманова.

Формулировка

Множество $B$ называется фундированным, если не существует такой бесконечной последовательности множеств $B_n$, что:

$...\in B_n\in ...\in B_2\in B_1\in B$

Элементы в последовательности могут повторяться. Термин происходит от Шаблон:Lang-en.

Рассмотрим множество всех нефундированных множеств $A$ (оно существует по принципу свёртывания). Парадокс обнаруживется при попытке ответить на вопрос: является ли оно фундированным или нет?

Предположим, что $A$ — фундированно. Возьмём некоторый элемент $B$ из $A$ (это возможно: $A$ непусто потому что как минимум множество всех подмножеств там есть). Тогда, так как оно нефундировано, для него есть последовательность

$...\in B_2\in B_1\in B$

В итоге

$...\in B_2\in B_1\in B\in A$

Предположим, что $A$ — нефундированно. Тогда $A\in ̸A$ и, следовательно, фундированно.Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья (Реферат в РЖ Математика, 1954 г, № 5027, референт Кузнецов А. В.)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Mirimanoff, D., “Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamentale de la théorie des ensembles”, L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52, 1917.

Ссылки

• Шаблон:Статья