Параметризованный постньютоновский формализм

Шаблон:ОТО Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света $c^{-2}$ (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем пульсаров в двойных системахШаблон:SfnШаблон:Sfn.

История

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922Шаблон:Sfn). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического телаШаблон:Sfn. Шаблон:Нп5 (Nordtvedt, 1968Шаблон:Sfn, 1969Шаблон:Sfn) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971Шаблон:Sfn) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульсаШаблон:Sfn.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Шаблон:Нп5 (Ni, 1972Шаблон:Sfn), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972Шаблон:Sfn), Мизнера, Торна и Уилера ГравитацияШаблон:Sfn, и УиллаШаблон:SfnШаблон:Sfn, и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поляШаблон:Sfn. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительностиШаблон:Sfn. В обозначениях Уилла (Will, 1971Шаблон:Sfn), Ни (Ni, 1972Шаблон:Sfn) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973Шаблон:Sfn) ППН параметры имеют условно следующее значениеШаблон:Sfn:

$\gamma$	Насколько сильная пространственная кривизна в $g_{ij}$ генерируется единицей массы покоя?
$\beta$	Насколько велика нелинейность в $g_{00}$ при сложении гравитационных полей?
${\beta }_1$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей кинетической энергии $\frac{1}{2}{\rho }_0{v}^2$?
${\beta }_2$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей гравитационной потенциальной энергии ${\rho }_0/U$?
${\beta }_3$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей внутренней энергии тела ${\rho }_0\mathrm{\Pi }$?
${\beta }_4$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей давления $p$?
$\zeta$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в $g_{00}$
$\eta$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в $g_{00}$
${\mathrm{\Delta }}_1$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в $g_{0j}$ производится единицей импульса ${\rho }_{0}v$?
${\mathrm{\Delta }}_2$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

$g_{\mu \nu }$ — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы $i$ и $j$ пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

$\gamma =\beta ={\beta }_1={\beta }_2={\beta }_3={\beta }_4={\mathrm{\Delta }}_1={\mathrm{\Delta }}_2=1$ и $\zeta =\eta =0$Шаблон:Sfn.

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972Шаблон:Sfn), используемой также в работах Уилла (1981Шаблон:Sfn, 2014Шаблон:Sfn), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

$\gamma =\gamma$,

$\beta =\beta$,

${\alpha }_1=7{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2-4\gamma -4$,

${\alpha }_2={\mathrm{\Delta }}_2+\zeta -1$,

${\alpha }_3=4{\beta }_1-2\gamma -2-\zeta$,

${\zeta }_1=\zeta$,

${\zeta }_2=2\beta +2{\beta }_2-3\gamma -1$,

${\zeta }_3={\beta }_3-1$,

${\zeta }_4={\beta }_4-\gamma$,

$\xi$ получается из $3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3{\alpha }_1+2{\alpha }_2-2{\zeta }_1-{\zeta }_2$.

Смысл параметров ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ и ${\alpha }_3$ при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира)Шаблон:Sfn. ${\zeta }_1$, ${\zeta }_2$, ${\zeta }_3$, ${\zeta }_4$ и ${\alpha }_3$ измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульсаШаблон:Sfn.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

$\gamma =\beta =1$ и ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3={\zeta }_1={\zeta }_2={\zeta }_3={\zeta }_4=\xi =0$Шаблон:Sfn.

Вид метрики альфа-дзета варианта:

$\begin{array}{c}{g}_{00}=-1+2U-2\beta U^2-2\xi {\mathrm{\Phi }}_W+(2\gamma +2+{\alpha }_3+{\zeta }_1-2\xi ){\mathrm{\Phi }}_1+2(3\gamma -2\beta +1+{\zeta }_2+\xi ){\mathrm{\Phi }}_2\\ +2(1+{\zeta }_3){\mathrm{\Phi }}_3+2(3\gamma +3{\zeta }_4-2\xi ){\mathrm{\Phi }}_4-({\zeta }_1-2\xi )A-({\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3)w^{2}U\\ -{\alpha }_2{w}^i{w}^j{U}_{ij}+(2{\alpha }_3-{\alpha }_1)w^i{V}_i+O({\epsilon }^3)\end{array}$

$g_{0i}=-\frac{1}{2}(4\gamma +3+{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\zeta }_1-2\eta )V_i-\frac{1}{2}(1+{\alpha }_2-{\zeta }_1+2\xi )W_i-\frac{1}{2}({\alpha }_1-2{\alpha }_2)w^{i}U-{\alpha }_2{w}^j{U}_{ij}+O({\epsilon }^{\frac{5}{2}}),$

$g_{ij}=(1+2\gamma U){\delta }_{ij}+O({\epsilon }^2)$,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, ${\epsilon }^2$ определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала $U$, квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), $w^i$ — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, $w^2=w^i{w}^j{\delta }_{ij}$ — квадрат этой скорости, а ${\delta }_{ij}=1$ если $i=j$ и $0$ в противоположном случае — символ КронекераШаблон:Sfn.

Есть только десять простых метрических потенциалов: $U$, $U_{ij}$, ${\mathrm{\Phi }}_W$, $A$, ${\mathrm{\Phi }}_1$, ${\mathrm{\Phi }}_2$, ${\mathrm{\Phi }}_3$, ${\mathrm{\Phi }}_4$, $V_i$ и $W_i$Шаблон:Sfn, столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитацииШаблон:Sfn. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, напримерШаблон:Sfn,

$U(𝐱,t)=\int \frac{{\rho }_0}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime }.$

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973Шаблон:Sfn), Уилла (1981Шаблон:Sfn, 2014Шаблон:Sfn) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981Шаблон:Sfn. Процесс состоит из девяти стадийШаблон:Sfn:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика $g_{\mu \nu }$, гравитационное скалярное $\varphi$, векторное $K_{\mu }$ и/или тензорное поле $B_{\mu \nu }$ и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика ${\eta }_{\mu \nu }$, космологическое время $t$ и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.
• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем $g_{\mu \nu }^{(0)}=\text{diag}(-c_0,c_1,c_1,c_1)$, ${\varphi }_0$, $K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }^{(0)}$.
• Шаг 3: Вводим новые переменные $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$, а если необходимо, то и $\varphi -{\varphi }_0$, $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$.
• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для $h_{\mu \nu }$ и прочих динамических гравитационных переменных.
• Шаг 5: Решаем уравнения для $h_{00}$ с точностью до $O(2)$. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму $h_{00}=2\alpha U$, где $U$ — гравитационный потенциал Ньютона, а $\alpha$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» $G$. Ньютонова метрика имеет форму $g_{00}=-c_0+2\alpha U$, $g_{0j}=0$, $g_{ij}={\delta }_{ij}{c}_1$. Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице $G_{\text{today}}=\alpha /c_0{c}_1=1$.
• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем $h_{ij}$ с точностью до $O(2)$ и $h_{0j}$ с точностью до $O(3)$.
• Шаг 7: Находим $h_{00}$ с точностью до $O(4)$. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.
• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.
• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику $g_{\mu \nu }$ с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна $𝐠=f\mathit{\eta }$ и поэтому $\gamma =-1$, что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, Шаблон:Нп5, метрика равна $𝐠=f_1𝐝t\otimes 𝐝t+f_2\mathit{\eta }$ и, следовательно, ${\alpha }_1=-4(\gamma +1)$, что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них $\xi =\beta$. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от $\xi$ и ${\alpha }_2$, то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение $\xi$.

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них ${\alpha }_2$ не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что $|{\alpha }_2|<2\cdot 10^{-9}$, и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении $\gamma =\frac{1+\omega }{2+\omega }$. Предел $\gamma -1<2.3\times 10^{-5}$ даёт очень малое $1/\omega$, которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на $\omega$ всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и ${\alpha }_2$ не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и $|{\alpha }_2|<2\cdot 10^{-9}$, так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры

Значения взяты из обзора Уилла, 2014Шаблон:Sfn

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
$\gamma -1$	$2.3\cdot 10^{-5}$	Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
$\beta -1$	$8\cdot 10^{-5}$	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\alpha }_1$	$4\cdot 10^{-5}$	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
${\alpha }_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\alpha }_3$	$4\cdot 10^{-20}$	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
${\zeta }_1$	$0.02$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
${\zeta }_2$	$4\cdot 10^{-5}$	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
${\zeta }_3$	$10^{-8}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
${\zeta }_4$	$0.006$‡	-	Не является независимым

‡ По $6{\zeta }_4=3{\alpha }_3+2{\zeta }_1-3{\zeta }_3$ из работ Уилла (1976Шаблон:Sfn, 2014Шаблон:Sfn). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел $|{\zeta }_4|<0.4$ из статьи Ни (1972Шаблон:Sfn).

Литература

Основная

• Шаблон:Книга — Перевод Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Дополнительная

• Шаблон:Книга — Перевод Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — Перевод Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

См. также

• Линеаризованная гравитация
• Проверка общей теории относительности
• Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории