Первая теорема о среднем

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, и ограничена на нём числами $m$ и $M$ так, что $m\le f(x)\le M$. Тогда существует такое число $\mu$, $m\le \mu \le M$, что

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\mu (b-a)$.

Доказательство

Из неравенства $m\le f(x)\le M$ по свойству монотонности интеграла имеем

$m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)$.

Обозначив $\mu =\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$, получим требуемое утверждение. Так определённое число $\mu$ называют средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$, откуда и название теоремы.

Замечание

Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a;b]$, то в качестве $m$ и $M$ можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка $c\in [a;b]$, что $f(c)=\mu$, поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=f(c)(b-a)$.

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

$F(b)-F(a)=F^{\prime }(c)(b-a)$,

где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции $F(x)$.

Обобщение

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a;b]$, причём по-прежнему $m\le f(x)\le M$, а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: $g(x)\ge 0$, либо всюду неположительна $g(x)\le 0$). Тогда существует такое число $\mu$, $m\le \mu \le M$, что

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$.

Доказательство

Пусть $g(x)$ неотрицательна, тогда имеем

$mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$,

откуда, ввиду монотонности интеграла

$m\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x\le M\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$.

Если $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=0$, то из этого неравенства следует, что $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=0$, и утверждение теоремы выполняется при любом $\mu$. В противном случае положим

$\mu =\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x}$.

Обобщение доказано. Если функция $f(x)$ непрерывна, можно утверждать, что существует точка $c\in [a;b]$ такая, что

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$

(аналогично предыдущему).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга