Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C([a,b]).$ Пусть также $f(a)\ne f(b),$ и без ограничения общности предположим, что $f(a)=A<B=f(b).$ Тогда для любого $C\in [A,B]$ существует $c\in [a,b]$ такое, что $f(c)=C$.

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть $f\in C([a,b]),$ и $\mathrm{sgn}(f(a))\ne \mathrm{sgn}(f(b)).$ Тогда $\mathrm{\exists }c\in [a,b]$ такое, что $f(c)=0.$
• В частности, любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание

• Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называют первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой. На самом деле они эквивалентны.Шаблон:Sfn

Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция $f:X\to ℝ$, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство $(X,𝒯),$ и функция $f\in C(X).$ Пусть $x_1,x_2\in X,f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2,$ и $y_1<y_2.$ Тогда

$\mathrm{\forall }y\in [y_1,y_2]\mathrm{\exists }x\in Xf(x)=y.$

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также

• Теорема Вейерштрасса
• Свойство Дарбу

Литература

• Шаблон:Книга