Свойство Дарбу

Шаблон:О Свойство Дарбу́ — свойство вещественнозначной функции $f$ на отрезке $[a,b]\subset ℝ$, согласно которому образ отрезка есть отрезок: найдутся такие $c,d\in ℝ$, что $f([a,b])=[c,d]$.

Шаблон:ЯкорьВыполнение свойства Дарбу для непрерывных функций непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении и теоремы Вейрштрасса — непрерывный образ отрезка всегда есть отрезок. Дарбу установил, что этому свойству могут удовлетворять не только непрерывные функции (теорема Дарбу): если функция $f$ дифференцируема в каждой точке отрезка $[a,b]$, то и производная $f^{\prime }$ на этом отрезке обладает свойством Дарбу (даже если эта производная разрывна)Шаблон:Sfn.

Возможны и другие случаи, когда разрывные функции обладают свойством Дарбу, например, таков Шаблон:Iw, задаваемый с разрывом в нуле:

$\mathrm{Tsin}(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$.

Пример Шаблон:Iw, обладающей свойством Дарбу, — Шаблон:Iw.

Монотонная на заданном отрезке функция обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна на нём.

Теорема Серпинского: любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Шаблон:ЯкорьСтрогое свойство Дарбу: образ всякого непустого открытого интервала — вся вещественная прямая:

$\mathrm{\forall }(a<b\in ℝ)f((a,b))=ℝ$.

Тринадцатеричная функция Конвея удовлетворяет также и строгому свойствуШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга