Вещественнозначная функция

Масса, измеренная в граммах, является функцией от такого набора гирь с положительнымм вещественными числами. Термин «весовая функция», являющийся косвенным указанием на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

Вещественнозначная функция — функция, значениями которой являются вещественные числа. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому элементу области определения функции.

Вещественнозначные Шаблон:Не переведено 5 (обычно называемые вещественными функциями) и вещественнозначные Шаблон:Не переведено 5 являются основным объектом изучения в математическом анализе и, более конкретно, в теории функций вещественной переменной. В частности, многие Шаблон:Не переведено 5 состоят из вещественнозначных функций.

Алгебраическая структура

Пусть $ℱ(X,ℝ)$ обозначает множество всех функций, отображающих множество Шаблон:Mvar в вещественные числа $ℝ$. Поскольку $ℝ$ является полем, $ℱ(X,ℝ)$ может быть превращено в векторное пространство с коммутативной алгеброй со следующими операциями:

• $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ — сложение векторов
• $\mathrm{𝟎}:x\mapsto 0$ — нулевой элемент
• $cf:x\mapsto cf(x),c\in ℝ$ – скаляр
• $fg:x\mapsto f(x)g(x)$ — поточечное умножение.

Эти операции распространяются на Шаблон:Не переведено 5 из Шаблон:Mvar в $ℝ,$ с ограничением, что частично определённые функции $f+g$ и $fg$ определены только в случае, когда области определения Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar.

Также, поскольку $ℝ$ является упорядоченным множеством, имеется частичное упорядочение:

$f⩽g⟺\mathrm{\forall }x:f(x)⩽g(x)$

в $ℱ(X,ℝ)$, что делает $ℱ(X,ℝ)$ частично упорядоченным кольцом.

Измеримость

Шаблон:См. также $\sigma$-алгебра борелевских множеств является важной структурой на вещественных числах. Если Шаблон:Mvar имеет $\sigma$-алгебру и функция Шаблон:Mvar такова, что прообраз Шаблон:Math любого борелевского множества Шаблон:Mvar принадлежит этой $\sigma$-алгебре, то говорят, что функция Шаблон:Mvar измеримая. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной выше.

Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на Шаблон:Mvar можно, фактически, определить как $\sigma$-алгебру на Шаблон:Mvar как и все прообразы борелевских множеств (или только промежутков, что не столь существенно). Это способ, которым $\sigma$-алгебры появляются в теории вероятностей (колмоггоровской), где вещественнозначные функции на пространстве элементарных событий Шаблон:Math являются вещественнозначными случайными величинами.

Непрерывность

Вещественные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (с предположением, что Шаблон:Mvar является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях топологических пространств и метрических пространств. Теорема об экстремальных значениях утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на компактном пространстве имеет максимум или минимум.

Концепция метрического пространства сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной метрики. Пространство Шаблон:Не переведено 5 имеет особое значение. Пределы последовательностей можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции образуют также векторное пространство с алгеброй, представленной выше, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет $\sigma$-алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.

Гладкость

Шаблон:Основная статья Вещественные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть: вещественным координатным пространством (что даёт Шаблон:Не переведено 5), топологическим векторным пространством, его открытым подмножеством, или гладким многообразием.

Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными выше, и являются подклассами непрерывных функций.

В теории меры

Мера множества — это неотрицательный вещественнозначный функционал на $\sigma$-алгебре подмножеств. ${\mathrm{L}}^p$ пространства на множествах с мерой определяются из упомянутых выше вещественнозначных измеримых функций, хотя они, на самом деле, являются факторпространствами. Более точно: принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим условиям суммируемости, определяет элемент пространства ${\mathrm{L}}^p$. В обратном направлении: для любой функции $f\in \mathrm{L}(X)$ и точки $x\in X$, не являющейся атомом, значение Шаблон:Math Шаблон:Не переведено 5. Однако, вещественнозначные ${\mathrm{L}}^p$ пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных выше. Каждое из ${\mathrm{L}}^p$ пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет Шаблон:Mvar, а именно:

$\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},0⩽\alpha ,\beta ⩽1,\alpha +\beta ⩽1.$

Например, поточечное произведение двух L² функций принадлежит L¹.

Другие приложения

Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства: монотонные функции (на упорядоченных множествах), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях), аналитические функции (обычно от одной и более вещественных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях) и многочлены (от одной и более переменных).

См. также

• Теория функций вещественной переменной
• Дифференциальные уравнения в частных производных — область, в которой часто используются вещественнозначные функции
• Норма (математика)
• Скаляр

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга