Пифагорово простое число

Пифагорово простое число — простое число вида $4n+1$. Название связано с представимостью таких чисел в виде суммы двух квадратов (по аналогии с теоремой Пифагора): теорема Ферма — Эйлера утверждает, что эти простые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов однозначно (с точностью до порядка), и что никакие другие простые числа не могут быть представлены таким образом, за исключением $2=1^2+1^2$. Все эти простые (включая 2) являются нормой гауссовых целых чисел, в то время как другие простые таковыми не являются.

Пифагоровых простых бесконечно много, первые такие числа:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …

Квадратичный закон взаимности утверждает, что если $p$ и $q$ — различные простые нечётные числа, и по крайней мере одно из них пифагорово, то $p$ является квадратичным вычетом по модулю $q$ только тогда, когда $q$ — квадратичный вычет по модулю $p$; и наоборот, если ни $p$, ни $q$ не являются пифагоровыми, то $p$ является квадратичным вычетом по модулю $q$ тогда и только тогда, когда $q$ является квадратным невычетом по модулю $p$.

В поле $\mathbb{Z}/p$ с пифагоровым простым $p$ уравнение $x^2=-1$ имеет два решения.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга