Плазменные волны в графене

Как и в обычных полупроводниках, в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму, и, соответственно, ставить вопрос о том, какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе .

Вывод

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

$\frac{\partial f}{\partial t}+{𝐯}_p\frac{\partial f}{\partial 𝐫}+e\frac{\partial \varphi }{\partial 𝐫}\frac{\partial f}{\partial 𝐩}=0.(4.1)$

Здесь функция распределения электронов $f=f(𝐫,𝐩,t)$ зависит от координат, импульсов и времени. $\varphi =\varphi (𝐫,t)$ — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты $𝐩=(p_x,p_y)$. Также скорость электронов задаётся формулой ${𝐯}_{𝐩}=v_F\frac{𝐩}{p}$, где $p=|𝐩|$.

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

$\frac{V_g-\varphi }{W_g}=\frac{4\pi e}{\epsilon }\mathrm{\Sigma },(4.2)$

где $V_g$ — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, $W_g$ — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, а концентрация электронов $\mathrm{\Sigma }$ задаётся по формуле

$\mathrm{\Sigma }=\frac{g_s{g}_v}{(2\pi \hslash {)}^2}\int d^2𝐩f,(4.3)$

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

$f(𝐫,𝐩,t)=f_0+\delta f(p)e^{i(kx-\omega t)},(4.4)$

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны ($|\delta f|\ll f_0$). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с $V_g$)

$\varphi (𝐫,t)=\delta \varphi e^{i(kx-\omega t)}.(4.5)$

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на $\delta f(p)$ и $\delta \varphi$ с точностью до первого порядка малости

$(k{v}_F\frac{p_x}{p}-\omega )\delta f=-ek\frac{\partial f_0}{\partial p_x}\delta \varphi ,(4.6)$

$\delta \varphi =-\frac{2e{W}_g}{\pi \epsilon {\hslash }^2}\int d^2𝐩f.(4.7)$

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть $k_{B}T\ll E_F$. Для $\omega >v_{F}k$ получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

$\omega =\frac{k{v}_F}{\sqrt{1-{\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^2}}=ks,(4.7)$

где

$\alpha =\sqrt{\frac{4g_s{g}_v{e}^3{W}_g{V}_g}{\epsilon {\hslash }^2{v}_F^2}}.(4.8)$.

Фазовая и групповая скорости равны

$s=\frac{v_F}{\sqrt{1-{\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^2}}.(4.9)$

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрен в работе .

См. также

• Графен