Поверхность Безье

В компьютерной графике построение поверхности Безье на трёхмерных объектах позволяет сгладить неровности фигуры.

Поверхность Безье — параметрическая поверхность, используемая в компьютерной графике, автоматизированном проектировании, и моделировании. Это одно из распространённых пространственных обобщений кривой Безье.

При кусочном моделировании (patch modeling) для задания и изменения формы куска, представляющего собой пространственную решетку из сплайнов или многоугольников, применяется сеть контрольных точек. Эти точки управления, также известные как контрольные вершины (control vertices — CV) оказывают на гибкую поверхность куска подобное магнитному влияние, при котором поверхность растягивается в том или ином направлении. Кроме того, куски можно и дальше подразделять на элементы для достижения большего разрешения и «сшивать» друг с другом, тем самым создавая сложные объёмные поверхности. Так же, как и сплайновые, кусочные модели используются при создании органических форм.

Уравнение поверхности

Поверхность Безье

Поверхность Безье порядка $(n,m)$ задаётся $(n+1)\cdot (m+1)$ контрольными точками ${𝐏}_{i,j}$. Точки поверхности рассчитываются следующей параметризацией:

$𝐩(u,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_i^n(u)B_j^m(v){𝐏}_{i,j}$,

где $u,v\in (0,1)$, а $B$ — многочлены Бернштейна:

$B_i^n(u)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})u^i(1-u{)}^{n-i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}{u}^i(1-u{)}^{n-i}$

Наиболее часто используются бикубические поверхности Безье $(n=m=3)$, задающиеся шестнадцатью контрольными точками.

Литература

• Шаблон:Книга
• BEZIER_SURFACE. Routines for Bezier Surface Information Шаблон:Wayback Шаблон:Ref-en — Библиотека функций Matlab и Fortran, позволяющая исследовать свойства Безье-поверхностей. Распространяется в соответствии с лицензией LGPL.

См. также

• Кривая Безье
• NURBS
• B-сплайн
• Поверхность