Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Шаблон:Не переведено 5. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974Шаблон:Sfn.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b₂ = 0

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S⁰, S⁺ и S⁻, которые являются компактными факторами $ℂ\times H$ (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются Шаблон:Не переведено 5. Они получаются как фактор $ℂ\times H$ по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на $ℂ\times H$.

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти $b_2=0$. Эти поверхности являются Шаблон:Не переведено 5, что означает, что для них $b_1=1$ и Шаблон:Не переведено 5 равна $-\mathrm{\infty }$. Как доказали БогомоловШаблон:Sfn, Ли-ЯуШаблон:Sfn и ТелеманШаблон:Sfn, любая Шаблон:Не переведено 5 с b₂ = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. ХасегаваШаблон:Sfn привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, Шаблон:Не переведено 5 и поверхности Иноуэ S⁰, S⁺ и S⁻.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано нижеШаблон:Sfn.

Поверхности типа S⁰

Пусть $\varphi$ будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями $\alpha ,\overline{\alpha }$ и вещественным собственным значением c>1, при этом $|\alpha {|}^{2}c=1$. Тогда $\varphi$ обратима в целых числах и определяет действие группы $\mathbb{Z}$ целых чисел на ${\mathbb{Z}}^3$. Пусть $\mathrm{\Gamma }:={\mathbb{Z}}^3⋊\mathbb{Z}$. Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

${ℝ}^3⋊ℝ=(ℂ\times ℝ)⋊ℝ$,

действующей на $ℂ\times ℝ$, при этом группа действует на $(ℂ\times ℝ)$-часть путём переносов, а на $⋊ℝ$-часть как $(z,r)\mapsto ({\alpha }^{t}z,c^{t}r)$.

Мы расширяем это действие на $ℂ\times H=ℂ\times ℝ\times {ℝ}^{>0}$, положив $v\mapsto e^{\log ct}v$, где t — параметр $⋊ℝ$-части группы ${ℝ}^3⋊ℝ$. Действие тривиально на факторе ${ℝ}^3$ по ${ℝ}^{>0}$. Это действие заведомо голоморфно и фактор $ℂ\times H/\mathrm{\Gamma }$ называется поверхностью Иноуэ типа S⁰.

Поверхность Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы $\varphi$, с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S⁺

Пусть n — положительное целое число, а ${\mathrm{\Lambda }}_n$ — группа верхних треугольных матриц

$\left[\begin{array}{ccc}1& x& \frac{z}{n}\\ 0& 1& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм ${\mathrm{\Lambda }}_n$, который обозначим $\varphi$. Фактор группы ${\mathrm{\Lambda }}_n$ по её центру C — это ${\mathbb{Z}}^2$. Предположим, что $\varphi$ действует на ${\mathrm{\Lambda }}_n/C={\mathbb{Z}}^2$ как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу ${\mathrm{\Gamma }}_n:={\mathrm{\Lambda }}_n⋊\mathbb{Z}$, с $\mathbb{Z}$, действующей на ${\mathrm{\Lambda }}_n$, как $\varphi$. Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${ℝ}^3$, мы получим действие ${\mathrm{\Gamma }}_n$ на ${ℝ}^3=ℂ\times ℝ$. Определим действие ${\mathrm{\Gamma }}_n$ на $ℂ\times H=ℂ\times ℝ\times {ℝ}^{>0}$ с ${\mathrm{\Lambda }}_n$ действующим тривиально на ${ℝ}^{>0}$-часть и $\mathbb{Z}$ действует как $v\mapsto e^{t\log b}v$. Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа $S^0$, показывают, что это действие голоморфно. Фактор $ℂ\times H/{\mathrm{\Gamma }}_n$называется поверхностью Иноуэ типа $S^{+}$.

Поверхности типа S⁻

Поверхности Иноуэ типа $S^{-}$ определяются тем же способом, что и S⁺, однако два собственных значения a, b автоморфизма $\varphi$, действующего на ${\mathbb{Z}}^2$, имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S⁺.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984Шаблон:Sfn. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII₀ с двумя циклами рациональных кривыхШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга