Поверхность Морина

Поверхность Морина является промежуточной моделью выворачивания сферы, открытой Бернардом Морином. Поверхность обладает четырёхкратной вращательной симметрией.

Если у исходной сферы, которую следует вывернуть, внешняя сторона выкрашена зелёным, а внутренняя красным цветами, то при преобразовании сферы путём гомотопии в поверхность Морина половина видимой извне поверхности Морина будет зелёной, а другая половина красной:

Половина поверхности Морина соответствует внешней поверхности сферы (зелёной),
которой она гомеоморфна, а другая симметричная половина соответствует внутренней поверхности сферы (красной).

Тогда вращение поверхности на 90° вокруг её оси симметрии сменит её цвета, то есть сменит полярность (внутри-снаружи) ориентируемой поверхности, так что повторение шагов гомотопии в точности с той же позиции в обратном порядке к исходной сфере после поворота поверхности Морина приведёт к сфере, внешняя сторона которой красная, а внутренняя сторона зелёная, то есть к вывернутой сфере. Ниже приведены шаги выворачивания:

1. сфера: зелёная снаружи, красная внутри...
2. преобразуем в...
3. поверхность Морина,
3'. поверхность Морина поворачиваем на 90°...
2'. обратное преобразование в...
1'. сферу: красная снаружи, зелёная внутри.

Структура поверхности Морина

Поверхность Морина может быть разделена на четыре конгруэнтные секции. Эти секции можно здесь называть Восточной, Южной, Западной и Северной, или, соответственно, секцией 0, секцией 1, секцией 2 и секцией 3.

Восточная секция поверхности Морина.

Поверхность Морина имеет четвёрку точек, через которую проходит ось симметрии. Эта четвёрка точек является начальными и конечными точками шести линий узловых точек. Каждая из четырёх секций ограничена тремя из этих линий узловых точек, так что каждая их четырёх секций гомеоморфна треугольнику. Восточную секцию представим теперь схематично:

Рисунок показывает восточную секцию, ограниченную тремя петлями ABCDA, AEFGA, и AHIJA. Третья петля, AHIJA является линией узловых точек, где Восточная секция пересекает себя. Петля ABCDA является линией узловых точек, по которой Восточная секция соединена с Западной секцией, а петля AEFGA является линией узловых точек, по которой Восточная секция соединена с Южной секцией. Точка здесь на самом деле перекрывает четыре различные точки: $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}$ .

Вот как Восточная секция связана с другими секциями: пусть каждая из её ограничивающих петель определена упорядоченной четвёркой точек, тогда

(A_{1}, B, C, D, A_{3}) = (A_{1}, D^{″}, C^{″}, B^{″}, A_{3})

(A_{2}, E, F, G, A_{3}) = (A_{2}, H^{'}, I^{'}, J^{'}, A_{3})

(A_{1}, H, I, J, A_{2}) = (A_{1}, E^{‴}, F^{‴}, G^{‴}, A_{2})

,

где точки без штриха принадлежат секции 0 (Восточной), точки с одним штрихом принадлежат секции 1 (Южной), точки с двумя штрихами принадлежат секции 2 (Западной), а точки с тремя штрихами принадлежит секции 3 (Северной).

Оставшиеся три петли соединяют секции следующим образом:

(A_{2}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, A_{0}) = (A_{2}, D^{‴}, C^{‴}, B^{‴}, A_{0})

(A_{3}, E^{'}, F^{'}, G^{'}, A_{0}) = (A_{3}, H^{″}, I^{″}, J^{″}, A_{0})

(A_{0}, E^{″}, F^{″}, G^{″}, A_{1}) = (A_{0}, H^{‴}, I^{‴}, J^{‴}, A_{1}) .

Восточная секция имеет, рассматриваемая сама по себе, одну петлю узловых точек: AHIJA. Если поверхность развёрнута, плоский результат будет следующим:

который гомеоморфен треугольнику:

Соединение четырёх треугольных секций по их швам даёт тетраэдр:

который гомеоморфен сфере, это показывает, что поверхность Морина является самопересекающейся сферой.