Полярная окружность

Полярная окружность

Полярная окружность треугольника — это окружность, центр которой совпадает с ортоцентром треугольника, а радиус равен

$\begin{array}{cc}{r}^2& =HA\times HD=HB\times HE=HC\times HF\\ & =-4R^2\cos A\cos B\cos C=4R^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2),\end{array}$

где A, B, C означают как вершины, так и соответствующие углы, а точка H — ортоцентр (пересечение высот). Точки D, E и F являются основаниями высот, опущенных из вершин A, B и C соответственно, R является радиусом описанной окружности, а a, b и c — длинами сторон треугольника, противоположных вершинам A, B и C соответственноШаблон:Sfn.

Первая часть формулы отражает факт, что ортоцентр делит высоты на отрезки, произведения которых равны. Тригонометрическая часть формулы показывает, что полярный круг существует только в случае, когда треугольник является тупоугольным, так что один из косинусов отрицателен.

Свойства

Любые две полярные окружности двух треугольников Шаблон:Не переведено 5 ортогональныШаблон:Sfn.

Полярные окружности треугольников полного четырёхсторонника образуют коаксиальную систему (т.е. имеющую общую ось)Шаблон:Sfn.

Описанная окружность треугольника, его окружность девяти точек, полярная окружность и описанная окружность его тангенциального треугольника коаксиальныШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга