Последовательность Битти

Однородная последовательность Битти — последовательность целых чисел, являющихся целыми частями от положительных чисел, кратных положительному иррациональному числу. Последовательности Битти названы в честь Шаблон:Iw, написавшего о них в 1926 году. Последовательности Битти также могут быть использованы для генерации Шаблон:Iw.

Определение последовательности Битти

Последовательность Битти, основанием для которой служит какое-либо положительное иррациональное число $r$, можно задать следующим образом:

${ℬ}_r=(\lfloor r\rfloor ,\lfloor 2r\rfloor ,\lfloor 3r\rfloor ,\dots )$

В случае, если $r>1$, то $s=\frac{r}{r-1}$ тоже является положительным иррациональным числом, причем две последовательности Битти, которые они задают, а именно,

${ℬ}_r=(\lfloor nr\rfloor {)}_{n\ge 1}$ и

${ℬ}_s=(\lfloor ns\rfloor {)}_{n\ge 1}$,

образуют пару комплементарных последовательностей Битти. Здесь слово «комплементарный» означает, что каждое положительное целое число принадлежит ровно к одной из этих двух последовательностей.

Примеры последовательностей Битти

В случае, где $r=\phi$, где $\phi$ - золотое сечение, имеем $s=r+1$. В этом случае, последовательность ${ℬ}_r=\check{𝒲}$, становится нижней последовательностью Витхоффа:

• 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... Шаблон:OEIS.

Комплементарной последовательностью ${ℬ}_s$, является последовательность $\widehat{𝒲}$ - верхняя последовательность Витхоффа:

• 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... Шаблон:OEIS.

С другой стороны, для $r=\sqrt{2}$, имеем $s=2+\sqrt{2}$. В этом случае вырождаются следующие последовательности:

• 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... Шаблон:OEIS и
• 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... Шаблон:OEIS.

Для $r=\pi$ и $s=\frac{\pi }{\pi -1}$ вырождаются последовательности

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... Шаблон:OEIS и
• 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... Шаблон:OEIS.

Любое число из первой последовательности отсутствует во второй, и наоборот.

История

Последовательность Битти получила свое название от задачи, поставленной в Американском математическом ежемесячнике Самуэлем Битти в 1926 году. Это, вероятно, одна из наиболее часто цитируемых проблем, когда-либо поставленных в данном журнале. Однако даже раньше, в 1894 году, такие последовательности были кратко упомянуты Рэлеем во втором издании его книги «Теория звука».

Теорема Рэлея о последовательности Битти (теорема Битти)

Шаблон:Не путатьТеорема Рэлея, названная в честь лорда Рэлея, утверждает, что дополнение последовательности Битти, состоящее из положительных целых чисел, которые не находятся в последовательности, само по себе является последовательностью Битти, порожденной другим иррациональным числом. Шаблон:Теорема

Доказательство

Пусть $r>1$ и $s=\frac{r}{r-1}$. Докажем, что $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{Z}}^{+}:x\stackrel{!}{\in }{ℬ}_{r|s}$ , где операнд "|" является операндом "или". Мы сделаем это, рассматривая порядковые позиции, занимаемые всеми дробями $\frac{j}{r}$ и $\frac{k}{s}$, совместно перечисленными в неубывающем порядке для $j,k\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Чтобы увидеть, что никакие два числа не могут занимать одну и ту же позицию (как одно число), предположим, что, наоборот, $\mathrm{\exists }j,k\in {\mathbb{Z}}^{+}:\frac{j}{r}=\frac{k}{s}$, тогда дроби $\frac{r}{s}=\frac{j}{k}\in \mathbb{Z}$, но, в то же время, $\frac{r}{s}=r(1-\frac{1}{r})=r-1$, и эта дробь не принадлежит множеству целых чисел. Поэтому никакие два числа не занимают одну и ту же позицию.

Для любой дроби $\frac{j}{r}$, существует ровно $j$ чисел $\frac{i}{r}\le \frac{j}{r}$ и ровно $\lfloor js/r\rfloor$ чисел $\frac{k}{s}\le \frac{j}{r}$, так что позиция дроби $\frac{j}{r}$ в своеобразном массиве будет $j+\lfloor js/r\rfloor$. Уравнение $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1$ превращается в следующее:

$j+\lfloor \frac{js}{r}\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor$.

Аналогично, позиция дроби $\frac{k}{s}$ в массиве будет $\lfloor kr\rfloor$.

Вывод: каждое положительное целое число (то есть каждая позиция в списке) имеет вид $\lfloor nr\rfloor$ или $\lfloor ns\rfloor$, но не оба одновременно. Обратное утверждение также верно: если $p,q\in ℝ$, так что каждое положительное целое число встречается ровно один раз в приведенном выше списке, то $p,q\in 𝕀;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.Шаблон:Дополнить раздел

Обобщения

Если немного её изменить, то теорема Рэлея может быть обобщена на положительные действительные числа (не обязательно иррациональные), а также на отрицательные целые числа: если положительные действительные числа удовлетворяют $r$ и $s$ удовлетворяют $1/r+1/s=1$, последовательности $(\lfloor mr\rfloor {)}_{m\in \mathbb{Z}}$ и $(\lceil ns\rceil -1{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ образуют раздел целых чисел. Например, белые и черные клавиши клавиатуры фортепиано распределяются в виде таких последовательностей для $r=12/7$ и $s=12/5$.

Теорема Ламбека-Мозера обобщает теорему Рэлея и демонстрирует, что более общие пары последовательностей, определяемые из целочисленной функции и её обратной функции, обладают тем же свойством разбивать целые числа.

Теорема Успенского утверждает, что если ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ положительные действительные числа, такие как $(\lfloor k{\alpha }_i\rfloor {)}_{k,i\ge 1}$, содержат все положительные целые числа ровно один раз, тогда $n\le 2.$ То есть не существует эквивалента теоремы Рэлея для трех или более последовательностей Битти.

Важными темами в последовательности Битти являются: простые числа и суммы значений арифметических функций.

Литература для дополнительного чтения

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot