Теорема Рэлея о точке перегиба

Теорема Рэлея — утверждение в гидродинамике, согласно которому для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.

Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазёйля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.

Доказательство

Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах $(x,z)$) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид $f(z){\text{e}}^{ikx}$, в линейном приближении приводит к уравнению Орра — Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью ($\text{Re}\to \mathrm{\infty }$) даёт уравнение Рэлея:

$(\lambda +ikU){\mathrm{\nabla }}^{2}w-ikw{U}^{″}=0,$

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{d^2}{d{z}^2}-k^2,$

где $w,\lambda =\sigma +i\omega ,k$ — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно; $U=U(z)$ — профиль скорости плоскопараллельного течения; ${\mathrm{\nabla }}^2$ — оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:

$w{|}_{z=0,h}=0$.

Поделим уравнение на $(\lambda +ikU)$, домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения $w^{\ast }$ и проинтегрируем по ширине канала:

$\underset{0}{\overset{h}{\int }}{w}^{\ast }{\mathrm{\nabla }}^{2}wdz=ik\underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{U^{″}|w{|}^2}{(\lambda +ikU)}dz.$

Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)

$\begin{array}{cc}& \int w^{\ast }{\mathrm{\nabla }}^{2}wdz=\int w^{\ast }{w}^{″}dz-k^2\int |w{|}^{2}dz=\\ & =w^{\ast }{w}^{\prime }{|}_0^h-\int |w^{\prime }{|}^{2}dz-k^2\int |w{|}^{2}dz=-\int |w^{\prime }{|}^{2}dz-k^2\int |w{|}^{2}dz.\end{array}$

показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:

$\begin{array}{cc}& ik\int \frac{U^{″}|w{|}^2}{(\lambda +ikU)}dz=ik\int \frac{U^{″}({\lambda }^{\ast }-ikU)|w{|}^2}{|\lambda +ikU{|}^2}dz=\\ & =ik{\lambda }^{\ast }\int \frac{U^{″}|w{|}^2}{|\lambda +ikU{|}^2}dz+k^2\int \frac{U^{″}U|w{|}^2}{|\lambda +ikU{|}^2}dz.\end{array}$

Принимая во внимание $\lambda =\sigma +i\omega$, получим:

$k\sigma \int \frac{U^{″}|w{|}^2}{|\lambda +ikU{|}^2}dz=0.$

Здесь есть две возможности. Во-первых, $\sigma =0$, отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подынтегральном выражении все величины, кроме $U^{″}$, положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака $U^{″}$ внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где $U^{″}=0$.

Применимость

Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.

Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.

См. также

• Гидродинамическая устойчивость
• Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца

Литература

• Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.