Последовательность Люка

Шаблон:Не путать Последовательность Люка — числовая последовательность из семейства пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка — ${U_{n} (P, Q)}$ и ${V_{n} (P, Q)}$ , удовлетворяющие одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами $P$ и $Q$ :

U_{0} (P, Q) = 0, U_{1} (P, Q) = 1, U_{n + 2} (P, Q) = P \cdot U_{n + 1} (P, Q) - Q \cdot U_{n} (P, Q), n ⩾ 0

,

V_{0} (P, Q) = 2, V_{1} (P, Q) = P, V_{n + 2} (P, Q) = P \cdot V_{n + 1} (P, Q) - Q \cdot V_{n} (P, Q), n ⩾ 0

.

Среди последовательностей Люка — числа Фибоначчи ( ${U_{n} (1, - 1)}$ ) и числа Люка ( ( ${V_{n} (1, - 1)}$ ). Некоторые другие последовательности Люка с собственными наименованиями:

${U_{n} (2, - 1)}$ — числа Пелля
${V_{n} (2, - 1)}$ — числа Пелля — Люка
${U_{n} (3, 2)}$ — числа Мерсенна
${V_{2^{n}} (3, 2)}$ — числа Ферма
${U_{n} (1, - 2)}$ — числа Якобшталя
${U_{n} (2 x, 1)}$ — многочлены Чебышёва второго рода
${V_{n} (2 x, 1)}$ — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Задание и свойства

Характеристическим многочленом последовательностей Люка ${U_{n} (P, Q)}$ и ${V_{n} (P, Q)}$ является $x^{2} - P \cdot x + Q$ . Его дискриминант $D = P^{2} - 4 Q$ предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена:

α = \frac{P + \sqrt{D}}{2}

и

β = \frac{P - \sqrt{D}}{2}

можно использовать для получения явных формул:

U_{n} (P, Q) = \frac{α^{n} - β^{n}}{α - β} = \frac{α^{n} - β^{n}}{\sqrt{D}}

и

V_{n} (P, Q) = α^{n} + β^{n}

.

Формулы Виета позволяют также выразить $P$ и $Q$ в виде:

P = α + β

,

Q = α \cdot β

.

Дискриминант $D$ обращается в нуль при $P = 2 S, Q = S^{2}$ для некоторого числа $S$ . При этом выполняется $α = β = S$ и соответственно:

U_{n} (2 S, S^{2}) = n S^{n - 1}

,

V_{n} (2 S, S^{2}) = 2 S^{n}

.

Некоторые свойства:

D U_{n} = V_{n + 1} - Q V_{n - 1} = 2 V_{n + 1} - P V_{n}

V_{n} = U_{n + 1} - Q U_{n - 1} = 2 U_{n + 1} - P U_{n}

U_{n + m} = U_{n} U_{m + 1} - Q U_{m} U_{n - 1} = \frac{U_{n} V_{m} + U_{m} V_{n}}{2}

V_{n + m} = V_{n} V_{m} - Q^{m} V_{n - m}

U_{2 n} = U_{n} V_{n} = \frac{U_{n + 1}^{2} - Q^{2} U_{n - 1}^{2}}{P}

V_{2 n} = V_{n}^{2} - 2 Q^{n}

U_{2 n + 1} = U_{n + 1}^{2} - Q U_{n}^{2}

Литература

Шаблон:ВС

Последовательность Люка

Задание и свойства

Литература

Навигация

Поиск