Постоянная Гельфонда

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число $e^{π}$ (то есть e в степени [[Пи (число)|Шаблон:Math]]). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

e^{π} \approx 23, 140 692 632 779 269 005 729 086 367 948 547 \dots

Его приближённые значения можно получать^[1], используя рекуррентно определённую последовательность

k_{n} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_{n - 1}^{2}}}{1 + \sqrt{1 - k_{n - 1}^{2}}},

где

k_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}},

а именно следующее выражение:

e^{π} \approx {(\frac{1}{4} k_{n})}^{- 2^{1 - n}} .

При этом сходимость таких приближений к $e^{π}$ достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби^[2]: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чëрной дыры Шварцшильда определяется множителем $e^{2 π} = 535.4916555247 . . .$ (квадрат постоянной Гельфонда)^[3].