Седьмая проблема Гильберта

Седьма́я пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Задача связана с доказательством и изучением трансцендентности и иррациональности некоторых чисел.

Постановка задачи

Ниже приведена выдержка из доклада Гильберта, посвящённая седьмой проблеме. Шаблон:Цитата

Решение

Сам Гильберт считал седьмую задачу очень трудной. Карл Зигель приводит цитату Гильберта, в которой тот относит время решения седьмой задачи гораздо дальше доказательства гипотезы Римана и теоремы Ферма.

Тем не менее частичное решение, относящееся к трансцендентности отношения основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, было получено А. О. Гельфондом уже в 1929 году, а трансцендентность числа $2^{\sqrt{2}}$ была доказана Р. О. Кузьминым в 1930 году. В 1934 году Гельфонд получил общее решение задачи: он доказал, что число вида ${\alpha }^{\beta },$ где $\alpha$ — алгебраическое число, отличное от $0$ и $1,$ а $\beta$ — иррациональное алгебраическое число, всегда является трансцендентным (число $e^{\pi }$ впоследствии даже получило название постоянной Гельфонда). Немного позднее решение было получено также Теодором Шнайдером.

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback — С. 121—127.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья