Постоянная Глейшера — Кинкелина

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина (Шаблон:Lang-en) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана ${\zeta }^{\prime }(-1)$,

$A=\exp (\frac{1}{12}-{\zeta }^{\prime }(-1))$.

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера — Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (Шаблон:OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах.

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

$K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}{k}^k$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

$G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!=\frac{{[\mathrm{\Gamma }(n)]}^{n-1}}{K(n)}$

где $\mathrm{\Gamma }(n)$ — гамма-функция, $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A может быть определена как предел

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12}{e}^{-n^2/4}}$

или, соответственно,

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(2\pi {)}^{n/2}{n}^{n^2/2-1/12}{e}^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}$.

Также известно, что

$G\left(\frac{1}{2}\right)=2^{1/24}{\pi }^{-1/4}{e}^{1/8}{A}^{-3/2}$.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента, в частности,

${\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A$

${\zeta }^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}[\gamma +\ln (2\pi )-12\ln A]$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах и бесконечных суммах,

$\underset{0}{\overset{1/2}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\ln A+\frac{5}{24}\ln 2+\frac{1}{4}\ln \pi$,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{e^{2\pi x}-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A$,

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (2k+1)}{(2k+1{)}^2}={\pi }^2(\frac{3}{2}\ln A-\frac{1}{6}\ln 2-\frac{1}{8}\ln \pi -\frac{1}{8}\gamma )$.

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы, которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе,

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){(k+1)}^2\ln (k+1)$,

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld