Потенциальный оператор

Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

Определение

Обозначим $E$ — вещественное нормированное пространство, $E^{*}$ — сопряжённое к нему пространство,$A$ — открытое множество из $E$. Оператор $F:A\to E^{*}$ называется потенциальным, если для всякого $x\in A$ существует такой функционал $f(x)\in E^{*}$, что $F(x)=gradf(x)$. Функционал $f(x)$ называется потенциалом оператора $F$Шаблон:Sfn.

Условие потенциальности операторов

Пусть оператор $F:E\to E^{*}$ дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества $\omega \subset E$. Тогда если дифференциал $DF(x,h)$ непрерывен по $x$ в каждой точке из $\omega$, то для потенциальности $F$ в $\omega$ необходимо и достаточно, чтобы $F$ был симметрическим в $\omega$Шаблон:Sfn.

Пояснения

Оператор $F:E\to E^{*}$ называется симметрическим в точке $x_0$, если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки $x_0$ и для любых $h_1,h_2\in E$ выполняется равенство $⟨DF(x_0,h_1)h_2⟩=⟨DF(x_0,h_2)h_1⟩$.

Оператор Немыцкого

Оператор Немыцкого задаётся формулой $hu=g(u(x),x)$, где $g(u,x)$ — вещественная функция, непрерывная по $u\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ при почти каждом фиксированном $x\in B$ и измерима как функция $x$ при всяком фиксированном $u$ и выполнено неравенство $|g(u,x)|⩽a(x)+b|u{|}^{p-1}$, где $p>1$, $a(x)\in L^p(B)$, $B$ — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее $s$-мерному евклидову пространствуШаблон:Sfn.

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега $L^p(B)$ в пространство Лебега $L^q(B)$, где $p^{-1}+q^{-1}=1$ и его потенциал $f$ определяется формулой $f(u)=f_0+\underset{B}{\int }dx\underset{0}{\overset{u(x)}{\int }}g(v,x)dv$, где $f_0$ — произвольное число.

Литература

• Шаблон:Книга