Потенциал Пёшль — Теллера

Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

$U(x)=\frac{{\hslash }^2}{2m}{a}^2(\frac{\varkappa (\varkappa -1)}{{\sin }^{2}ax}+\frac{\lambda (\lambda -1)}{{\cos }^{2}ax})$

на промежутке $0⩽x⩽\pi /(2a)$, на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям $\varkappa >1$ и $\lambda >1$. Иногда потенциалом Пёшль — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшль — Теллера.

График потенциала Пёшль — Теллера с фиксированным параметром $\lambda =3$ и различными значениями $\varkappa$

Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+\frac{{\hslash }^2}{2m}{a}^2(\frac{\varkappa (\varkappa -1)}{{\sin }^{2}ax}+\frac{\lambda (\lambda -1)}{{\cos }^{2}ax})\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x).$

Если ввести обозначение $k=\sqrt{2mE/{\hslash }^2}$, то оно примет вид:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+(k^2-a^2\frac{\varkappa (\varkappa -1)}{{\sin }^{2}ax}-a^2\frac{\lambda (\lambda -1)}{{\cos }^{2}ax})\mathrm{\Psi }(x)=0.$

После замены переменных

$y={\sin }^{2}ax$

получим

$y(1-y){\mathrm{\Psi }}^{″}(y)+(\frac{1}{2}-y){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(y)+\frac{1}{4}(\frac{k^2}{a^2}-\frac{\varkappa (\varkappa -1)}{y}-\frac{\lambda (\lambda -1)}{1-y})\mathrm{\Psi }(y)=0.$

Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:

$\mathrm{\Psi }(y)=y^{\mu }(1-y{)}^{\nu }f(y)$

Если выбрать

$\mu =\frac{\varkappa }{2},\nu =\frac{\lambda }{2},$

то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:

$y(1-y)f^{″}(y)+((\varkappa +\frac{1}{2})-y(\varkappa +\lambda +1))f^{\prime }(y)+\frac{1}{4}(\frac{{\varkappa }^2}{a^2}+(\varkappa +\lambda {)}^2)f(y)=0.$

Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции:

$f(y)=C_1{}_2{F}_1(a,b;c;y)+C_2{y}^{1-c}{}_2{F}_1(a+1-c,b+1-c;2-c;y),$

где введены обозначения:

$a=\frac{1}{2}(\varkappa +\lambda +\frac{k}{a}),b=\frac{1}{2}(\varkappa +\lambda -\frac{k}{a}),c=\varkappa +\frac{1}{2}.$

Если учесть граничные условия:

$\mathrm{\Psi }(0)=\mathrm{\Psi }(1)=0,$

то получим собственные функции

${\mathrm{\Psi }}_n(x)=C_1{\sin }^{\varkappa }(ax){\cos }^{\lambda }(ax){}_2{F}_1(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +\frac{1}{2};{\sin }^{2}ax),$

где константа вычисляется с учётом нормировки:

$C_1={(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\sin }^{\varkappa }(ax){\cos }^{\lambda }(ax){}_2{F}_1(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +\frac{1}{2};{\sin }^{2}ax)dx)}^{-\frac{1}{2}}.$

Соответствующие уровни энергии равны:

$E_n=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\varkappa +\lambda +2n{)}^2,n\in {\mathbb{Z}}_{+}.$

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга