Предельные теоремы Сегё

Предельные теоремы Сегё — группа результатов, описывающих асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц, впервые установленная Габором Сегё.

В рамках предельных теорем рассматривается функция $\phi :T\to ℂ$, заданная на единичной окружности комплексной плоскости, и тёплицева матрица $T_n(\phi )$ размера $n\times n$, определённая как:

$T_n(\varphi {)}_{k,l}=\hat{\varphi }(k-l),0⩽k,l⩽n-1$,

где

$\hat{\varphi }(k)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\varphi (e^{i\theta })e^{-ik\theta }d\theta$

являются коэффициентами Фурье функции $\phi$.

Шаблон:ЯкорьПервая теорема Сегё утверждает, что при $\phi >0$ и $\phi \in L_1(T)$ справедливо:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\det T_n(\varphi )}{\det T_{n-1}(\varphi )}=\exp \{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log \varphi (e^{i\theta })d\theta \}.$

Правая часть является геометрическим средним функции $\phi$(которое определено в силу соотношения между геометрическим и арифметическим средними; обозначается через $G(\phi )$).

Шаблон:ЯкорьВторая теорема Сегё (строгая теорема Сегё) утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная $\phi$ была гёльдеровой функцией порядка $\alpha >0$, то справедливо:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\det T_n(\varphi )}{G^n(\varphi )}=\exp \left\{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{|\widehat{(\log \varphi )}(k)|}^2\right\}.$