Принцип Дирихле (математическая физика)

В математической физике при́нцип Дирихле́ относится к теории потенциала и формулируется следующим образом: если функция u(x) есть решение уравнения Пуассона:

$\mathrm{\Delta }u+f=0$

в области $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ с граничным условием $u=g$ на границе $\mathrm{\Omega }$, то u может быть найдена как решение вариационной задачи: найти минимум

$E[v(x)]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }v{|}^2-vf)\mathrm{d}x$

среди всех дважды дифференцируемых функций $v$ таких, что $v=g$ на границе $\mathrm{\Omega }$.

Данное утверждение сформулировал (но не доказал) немецкий математик Дирихле. Карл Вейерштрасс показал, что в некоторых ситуациях принцип Дирихле неверен; позднее условия его применения уточнили Бернгард Риман, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие математики.

Литература

• Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7.
• Михлин С. Г. Вариационные методы решения задач математической физики. УМН, 5:6(40) (1950), 3—51.
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld