Принцип Мопертюи

Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движенияШаблон:Sfn. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

Формулировка

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией $E$ и потенциальной энергией $U$. Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы $\int \sqrt{E-U}ds=min$.

Доказательство

Рассмотрим вариацию $\delta \int \sqrt{E-U}ds=\int \{\sqrt{E-U}\delta ds-\frac{\delta U}{2\sqrt{E-U}}ds\}=0$. Воспользуемся равенствами $\delta ds=\frac{dx}{ds}\delta dx$ и $\delta U=\frac{\partial U}{\partial x}\delta x$. Получим $\int \sqrt{E-U}\frac{dx}{ds}\delta dx-\int \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{2\sqrt{E-U}}\delta xds=0$. Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{E-U}\frac{dx}{ds}\delta dx=\sqrt{E-U}\frac{dx}{ds}\delta x{|}_1^2-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{d}{ds}\left\{\sqrt{E-U}\frac{dx}{ds}\right\}\delta xds$. Первый член обращается в нуль вследствие вариаций $\delta x$ на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия $\int \{\frac{d}{ds}\left[\sqrt{E-U}\frac{dx}{ds}\right]+\frac{1}{2\sqrt{E-U}}\frac{\partial U}{\partial x}\}\delta xds=0$ Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем $\frac{d}{ds}\left[\sqrt{E-U}\frac{dx}{ds}\right]=-\frac{1}{2\sqrt{E-U}}\frac{\partial U}{\partial x}$. С учётом равенств $V=\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{E-U}$, $dt=\frac{ds}{V}=\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{ds}{\sqrt{E-U}}$ получим правильные уравнения движения $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{\partial U}{\partial x}$. Этим доказывается справедливость принципа $\int \sqrt{E-U}ds=min$.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга