Принцип Фрагмена — Линделёфа

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для неограниченного сектора

Пусть функция $f$ аналитична в секторе $S=\{z:-\frac{\pi }{4}<\arg z<\frac{\pi }{4}\}$ и непрерывна на его границе. Тогда, если на границе этого сектора справедливо неравенство $|f(z)|\le 1$ и существуют постоянные $c,C\in ℝ$ такие, что во всем секторе выполняется неравенство $|f(z)|\le C{e}^{c|z|}$, тогда неравенство $|f(z)|\le 1$ справедливо во всем секторе.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для вертикальной полуполосы

Пусть $\mathrm{\Omega }=\{z:\mathrm{I}\mathrm{m}z>y_0,x_1<\mathrm{R}\mathrm{e}z<x_2\}$ — бесконечная вертикальная полуполоса, далее, пускай существуют постоянные $M,A,B$ такие, что на границе полосы выполнено неравенство $|f(z)|\le M$, а в самой полосе выполняется неравенство $|f(z)|\le B{(\mathrm{I}\mathrm{m}f(z))}^A$. Тогда $|f(z)|\le M$ выполнено во всей полосе.