Принцип наименьшего принуждения

При́нцип наименьшего принуждения, или при́нцип Га́усса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.

Принцип наименьшего принуждения относится к числу дифференциальных вариационных принципов механики и предложенШаблон:Sfn К. Ф. Гауссом в 1829 г. в работе «Об одном новом общем законе механики». Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной».

Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имелаШаблон:Sfn работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределилШаблон:Sfn принуждение как следующее (в современных обозначенияхШаблон:Sfn) выражение:

$Z=\frac{1}{2}\stackrel{}{\stackrel{N}{\sum _{i=1}}}{m}_i{({𝐰}_i-\frac{{𝐅}_i}{m_i})}^2$  ,

где  $N$ — число точек, входящих в систему,  $m_i$ — масса $i$-й точки, ${𝐅}_i$ — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  ${𝐰}_i$ — ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции $Z$.

Обоснование

Файл:Принцип наименьшего принуждения.jpg

Рис.1

Пусть точка механической системы с массой $m_i$ в момент времени $t_0$ находится в положении $M_i$. При свободном движении точка за очень малый промежуток $\tau$ пройдёт расстояние  $\overline{M_i{A}_i}={𝐯}_i\tau$  (рис.1), где  ${𝐯}_i$ — скорость точки в момент времени $t_0$. Если же на точку будет действовать активная сила ${𝐅}_i$, точка под воздействием этой силы совершит перемещение $\overline{M_i{B}_i}$. Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:

$𝐫(t_0+\tau )=𝐫(t_0)+\stackrel{\cdot }{𝐫}(t_0)\tau +\frac{1}{2}\stackrel{\cdot \cdot }{𝐫}(t_0){\tau }^2+...$

Но

$\stackrel{\cdot }{𝐫}(t_0)=𝐯,\stackrel{\cdot \cdot }{𝐫}(t_0)=\frac{{𝐅}_i}{m_i}$

Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:

$\overline{M_i{B}_i}={𝐯}_i\tau +\frac{1}{2}\frac{{𝐅}_i}{m_i}{\tau }^2$

Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы ${𝐅}_i$ и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:

$\overline{M_i{C}_i}={𝐯}_i\tau +\frac{1}{2}{𝐰}_i{\tau }^2$ ,

где ${𝐰}_i$ — ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором $\overline{B_i{C}_i}$. Очевидно, что

$\overline{B_i{C}_i}=\overline{M_i{C}_i}-\overline{M_i{B}_i}=\frac{1}{2}{\tau }^2({𝐰}_i-\frac{{𝐅}_i}{m_i})$

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения $\overline{B_i{C}_i}$, которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой $m_i$ имеет следующее выражение:

$Z_i=\frac{1}{2}{m}_i{({𝐰}_i-\frac{{𝐅}_i}{m_i})}^2$

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

$Z=\frac{1}{2}\stackrel{}{\stackrel{N}{\sum _{i=1}}}{m}_i{({𝐰}_i-\frac{{𝐅}_i}{m_i})}^2$

Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении

$\delta Z=0$

причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.

Значение принципа Гаусса

Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениямиШаблон:Sfn. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работыШаблон:Sfn.

Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»Шаблон:Sfn.

Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования.

Принцип Гаусса обобщёнШаблон:Sfn на случай освобождения системы от части связей, а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред.

См. также

• Болотов, Евгений Александрович

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — С. 29—45.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья