Принцип симметрии Шварца

Формулировка

Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве $\mathrm{\Omega }\subset ℂ.$ Далее, пусть множество $D=\partial \mathrm{\Omega }\cap ℝ$ непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения.

Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции $f$ с множества $\mathrm{\Omega }$ на большее множество $\mathrm{\Omega }\cup \bar{\mathrm{\Omega }}$, где $\bar{\mathrm{\Omega }}=\{z:\bar{z}\in \mathrm{\Omega }\}$, с помощью следующей функции:

$F(z)=f(z)$ при $z\in \mathrm{\Omega }$

$F(z)=\overline{f(\stackrel{‾}{z})}$ при $z\in \bar{\mathrm{\Omega }}$

Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием.

Обобщение

Допустим, что заданы области ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2\subset ℂ$, далее, ${\gamma }_1\subset \partial {\mathrm{\Omega }}_1,{\gamma }_2\subset \partial {\mathrm{\Omega }}_2$ — дуги обобщенных окружностей. Обозначим через ${\mathrm{\Omega }}_1^{*}$ область, которая симметрична ${\mathrm{\Omega }}_1$ относительно ${\gamma }_1$, аналогично определяется ${\mathrm{\Omega }}_2^{*}$. Теперь, если $f$ конформно отображает ${\mathrm{\Omega }}_1$ на ${\mathrm{\Omega }}_2$, притом $f({\gamma }_1)={\gamma }_2$, тогда $f$ может быть аналитически продолжена до конформного отображения ${\mathrm{\Omega }}_1\cup {\gamma }_1\cup {\mathrm{\Omega }}_1^{*}$ на ${\mathrm{\Omega }}_2\cup {\gamma }_2\cup {\mathrm{\Omega }}_2^{*}$.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.