Проблема якобиана

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Условия

Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных $\bar{X}=X_1,X_2,...,X_N$:

$f_1,f_2,...,f_N\in ℂ[X_1,X_2,...,X_N](1)$

Предположим, что для любого набора $(b_1,b_2,...,b_N)\in {ℂ}^N$ система уравнений

$f_1=b_1,f_2=b_2,...,f_N=b_N$

имеет единственное решение $(a_1,a_2,...,a_N)\in {ℂ}^N$ и существуют такие многочлены

$g_1,g_2,g_3,...g_N\in ℂ[X_1,X_2,...,X_N]$,

что каждое $a_i=g_i(b_1,b_2,...,b_N)$. Предполагается, что многочлены $g_1,g_2,...,g_N$ не зависят от набора свободных членов $(b_1,b_2,...,b_N)\in {ℂ}^N$. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из $ℂ[X_1,X_2,...,X_N]$ однозначно представляется в виде многочлена от $f_1,f_2,...f_N$ (и от $g_1,g_2,...g_N$). Система (1) задаёт полиномиальное отображение $f:{ℂ}^N\to {ℂ}^N$, при котором

$f(a_1,...,a_N)=(f_1(a_1,...,a_N),f_2(a_1,...,a_N),...,f_N(a_1,...,a_N))=(b_1,b_2,...,b_N)\in {ℂ}^N(2)$.

Отображение $f$ является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение $f^{-1}$, переводящее $(b_1,b_2,...,b_N)\in {ℂ}^N$ в

$f^{-1}(b_1,...,b_N)=(g_1(b_1,...,b_N),g_2(b_1,...,b_N),...,g_N(b_1,...,b_N))=(a_1,a_2,...,a_N)\in {ℂ}^N$

также является полиномиальным.

Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения $f$) $J(f)(\bar{X})$ размера $N$, в которой на месте $(i,j)$ стоит частная производная $\partial f_i/\partial X_J$. Зададим другое полиномиальное отображение $h:{ℂ}^N\to C^N$ и рассмотрим их композицию $fh$, матрица Якоби которой равна

$J(fh)(\bar{X})=J(f)(h(\bar{X}))J(h)(\bar{X})$.

Вычисляя определители, получаем, что

$\det (J(fh))(\bar{X})=\det (J(f))(h(\bar{X}))\det (J(h))(\bar{X})$.

В частности, если заданы полиномиальные отображения $f$ и $f^{-1}$, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица $E=J(f^{-1}f)(\bar{X})=J(f^{-1})(f(\bar{X}))J(f)(\bar{X})$, тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,

$\det (J(f))(\bar{X})$

является ненулевой константой.

Формулировка

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение $f$ вида (2), причем $\det (J(f))$ является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из $C[X_1,X_2,...,X_N]$ в виде многочлена от $f_1,f_2,...,f_n$?

Результаты

До 2022 года проблема была решена для случая, когда $N=2$ и степени $f_1,f_2$ не выше 150, а также если $N$ любое, но степени всех многочленов $f_1,f_2,...,f_N$ не выше 2. Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое $f_i$ является многочленом степени не выше 3.

Литература

1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;