Программа минимальных моделей

Программа минимальных моделей — это часть бирациональной классификации алгебраических многообразий. Её цель — построение как можно более простой бирациональной модели любого комплексного проективного многообразия. Предмет основывается на классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой и в настоящее время находящейся в активном изучении.

Основные принципы

Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия $X$, для которого любой бирациональный Шаблон:Не переведено 5 $f:X\to X^{\prime }$ с гладкой поверхностью $X^{\prime }$ является изоморфизмом.

В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие $X$, которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:

• Если $X$ имеет Шаблон:Не переведено 5 $\kappa (X,K_X)=-\mathrm{\infty }$, мы хотим найти многообразие $X^{\prime }$, бирациональное к $X$, и морфизм $f:X^{\prime }\to Y$ в проективное многообразие $Y$, такое, что $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Y<\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{X}^{\prime }$, с Шаблон:Не переведено 5 $-K_F$ слоя общего вида $F$, являющегося обильным. Такой морфизм называется пространством расслоения Фано.
• Если $\kappa (X,K_X)$ не меньше 0, мы хотим найти $X^{\prime }$, бирациональное $X$ с каноническим Шаблон:Не переведено 5 $K_{X^{\prime }}$. В этом случае $X^{\prime }$ является минимальной моделью для $X$.

Вопрос о несингулярности многообразий $X^{\prime }$ и $X$, приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого $X$, мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются Шаблон:Не переведено 5.

Минимальные модели поверхностей

Шаблон:Основная статья Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово, по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм $f:X\to Y$должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C.C = −1. Любая такая кривая должна иметь K.C=−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K, либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X, не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

Минимальные модели в пространствах высоких размерностей

В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют Шаблон:Не переведено 5 $X$, которые не бирациональны любому гладкому многообразию $X^{\prime }$ с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли $K_{X^{\prime }}$ неф-классом, так что число пересечений $K_{X^{\prime }}\cdot C$ должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь $n{K}_{X^{\prime }}$ дивизор Картье для некоторого положительного числа $n$.)

Первым ключевым результатом является Шаблон:Не переведено 5 Мори, которая описывает структуру конуса кривых $X$. Коротко, теорема показывает, что начиная с $X$, можно по индукции построить последовательность многообразий $X_i$, каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу $K_{X_i}$. Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие $X_i$ может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — Шаблон:Не переведено 5, вид хирургии коразмерности 2 на $X_i$. Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель $X^{\prime }$ за конечное число шагов.) МориШаблон:Sfn показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.

Существование более общих логперестроек установил ШокуровШаблон:Sfn для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей Шаблон:Не переведено 5, Каскини, Хэкон, и Маккернан, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана. Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.

Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга