Процентный опцион

Процентный опцион или опцион на процентную ставку (inerest rate option, IRO) - производный финансовый инструмент опционного типа, базисным активом которого выступает процентная ставка, и предполагающий выплаты покупателю опциона, если рыночная (плавающая) процентная ставка окажется выше или ниже определённого уровня (страйка) или в определённых пределах в случае более сложных инструментов.

Простейшими базовыми процентными опционами являются кэплеты (caplet) и флорлеты или флурлеты (floorlet) - соответственно колл- и пут- опционы на процентную ставку) - предполагающие в случае кэплета выплату в размере превышения рыночной (плавающей) ставки над страйком (фиксированной ставки), или в случае флорлета - наоборот, в размере превышения страйка над рыночной ставкой. Кэплеты и флорлеты представляют собой опционы на конкретный период (тенор) в будущем и обычно не заключаются как отдельные инструменты, а являются элементами соответственно кэпов и флоров , представляющих собой набор последовательных кэплетов или, соответственно, флорлетов с единым для них страйком.

К процентным опционам относятся также свопционы, предоставляющие право заключения в будущем процентного свопа. Права на досрочное погашение или востребование (в том числе частичное) кредитов и депозитов, оферты по облигациям, право на пополнение депозита, на пролонгацию кредита и иные подобные права могут быть интерпретированы как процентные опционы при допущениях рациональности лиц, принимающих решения по применению соответствующих прав (рациональность предполагает принятие решений с учётом выгодности исходя из рыночной динамики процентных ставок и условий договоров).

Кэплет и флорлет (флурлет)

Денежный поток

Европейский кэплет (z=1) / флорлет (z=-1) на период $[T_{i-1},T_i]$ предполагает выплату в момент $T_i$ в размере

$C{F}_i={(z[L(T_{i-1},T_i)-K]{\tau }_i)}^{+}$

где $L(T_{i-1},T_i)$ - простая плавающая ставка (в годовом выражении) для периода $[T_{i-1},T_i]$;

$K$ - страйк опциона (фиксированная в момент купли/продажи ставка в годовом выражении);

${\tau }_i=\tau (T_{i-1},T_i)$ - продолжительность периода кэплета/флорлета в долях года (с учётом соглашений по алгоритму оценки этих величин).

Классические кэплеты предполагали фиксинг значения плавающей рыночной ставки в начале периода кэплета (в момент T) - это так называемые форвард-лукинг кэплеты. С переходом на овернайт-ставки вместо срочных ставок типа либор, моспрайм и др., часто рассматриваются бэкворд-лукинг кэплеты, когда фиксинг итоговой ставки осуществляется по завершении процентного периода кэплета исходя из фактических значений овернайт-ставок. При этом теоретически возможны случаи сложного начисления ставки или простого (арифметического) - в последнем случае фактически имеем опцион азиатского типа.

Стоимость кэплета/флорлета

Стоимость кэплета/флорлета в момент $t<T_{i-1}$ согласно общей формуле оценки условного платежа в форвардной мере:

$V_t=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_i}}[(z[L(T_{i-1}{T}_i){\tau }_i-K{\tau }_i]{)}^{+}]$

Можно показать, что стоимость кэплета/флорлета эквивалентна стоимости пут-/колл- опциона на дисконтную облигацию номиналом $1+K{\tau }_i$ и страйком $K_p=\frac{1}{1+K{\tau }_i}$, то есть можно записать, что:

$V_t=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_i}}[(z[L(T_{i-1}{T}_i){\tau }_i-K{\tau }_i]{)}^{+}]=(1+K{\tau }_i)P(t,T_{i-1}){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_{i-1}}}[(-z[P(T_{i-1},T_i)-K_p]{)}^{+}]$

Такая интерпретация полезна при выводе формулы стоимости в рамках нормальных моделей мгновенной форвардной ставки (в этом случае цены дисконтных облигаций имеют логнормальное распределение).

Для оценки стоимости форвард-лукинг кэплетов/флорлетов чаще всего используется формула Блэка, основанная на предположении логнормальности распределения форвардных ставок. Соответствующая формула стоимости имеем вид:

$\mathrm{\forall }t<T_{i-1}{V}_i(t)=P(t,T_i){\tau }_{i}z[F_i(t)N(z{d}_i)-K{\tau }_{i}N(z(d_i-v_i))],d_i=\frac{1}{v_i}\ln \frac{F_i(t)}{K}+0.5v_i$

где $v_i^2=\underset{t}{\overset{T_{i-1}}{\int }}{\sigma }^2(u)du$ и в наиболее простом случае предполагается $\sigma (u)=\sigma =const$, поэтому $v_i=\sigma \sqrt{T_{i-1}-t}$

Однако, с учетом неточности допущения логнормальности образуется проблема так называемой улыбки волатильности. Часто вместо прямого использования формул оценки опционов, следующих из альтернативных моделей ставки используют аппроксимацию улыбки волатильности Блэка в рамках этих моделей, применяя для оценки стоимости опционов все равно формулу Блэка. Это связано с тем, что аналитические формулы в альтернативных моделях либо существенно сложнее либо вообще не существует аналитических формул расчета (только численные методы).

Тем не менее используются и некоторые другие простейшие модели и формулы оценки, например, оценку в рамках модели Халла-Уайта, или формулу Башелье, справедливую в рамка предположения нормальности распределения простых форвардных ставок:

$\mathrm{\forall }t<T_{i-1}{V}_i(t)=P(t,T_i)[d_{i}N(d_i)+\varphi (d_i)]v_i,d_i=z\frac{F_i(t){\tau }_i-K{\tau }_i}{v_i}$

где $v_i^2=\underset{t}{\overset{T_{i-1}}{\int }}{\sigma }^2(u)du$ и в наиболее простом случае предполагается $\sigma (u)=\sigma =const$, поэтому $v_i=\sigma \sqrt{T_{i-1}-t}$

Модель Башелье также не является достаточно точной, поэтому формируется своя улыбка волатильности. Тем не менее, в некоторых случаях (например, в случае модели SABR) выводятся аналитические аппроксимации нормальной волатильности и она применяется в формуле Башелье для оценки опциона.

Кэпы и флор (флур)

Денежный поток

Кэпы (флоры) представляют собой набор последовательных по процентным периодам кэплетов (флорлетов) с единым страйком. Пусть кэп состоит из n кэплетов с процентными периодами $[T_{i-1},T_i),i=1..n$. Для упрощения будем считать, что нет временных сдвигов дат платежей, и указанных моментов времени начала или конца процентных периодов (на практике такие сдвиги могут быть). Тогда кэп и флор предполагают набор платежей, определяемых следующим образом:

$C{F}_i=(z[L(T_{i-1},T_i)-K]{)}^{+}\tau (T_{i-1},T_i)=(z[L_i-K]{\tau }_i{)}^{+}$

Стоимость кэпа/флора

Стоимость кэпов и флоров представляет собой сумму стоимостей соответствующих кэплетов/флорлетов:

$V_t=\sum _{(i)}{V}_i(t,{\sigma }_i)$

При этом, волатильность форвардных ставок для различных периодов может быть разной. Эти волатильности называют также спот-волатильностями (spot volatility). В рамках кэпа/флора можно также оценить так называемую флэт-волатильность (flat volatility)- единая величина волатильности, при которой стоимость кэпа совпадает со стоимостью, определенной по спот-волатильностям кэплетов.