Псевдотопологическое пространство

Шаблон:Значения Псевдотопологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером . Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы.Шаблон:Sfn Топологические пространства можно рассматривать как частные случаи псевдотопологических.Шаблон:Sfn

Определение

Псевдотопологическое пространство $E$ представляет собой множество $M$, наделённое псевдотопологией. Множество $M$ называется несущим множеством пространства $E$ и обозначается через $\underset{\_}{E}$. Если фильтр $\mathrm{X}$ в $E$ сходится к точке $x$ в данной псевдотопологии, то это обозначается как $\mathrm{X}{\downarrow }_{x}E$. Псевдотопология в $M$ определяется заданием для каждого $x\in M$ некоторого семейства фильтров в $M$, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Если фильтр сходится к $x$, то к $x$ сходится и любой меньший фильтр. $\mathrm{X}{\downarrow }_{x}E,\mathrm{\Psi }⩽\mathrm{X}\Rightarrow \mathrm{\Psi }{\downarrow }_{x}E$
2. Если два фильтра сходятся к $x$, то к $x$ сходится и их верхняя грань. ${\mathrm{X}}_1{\downarrow }_{x}E,{\mathrm{X}}_2{\downarrow }_{x}E\Rightarrow {\mathrm{X}}_1\vee {\mathrm{X}}_2{\downarrow }_{x}E$
3. Фильтр $\left[x\right]$ сходится к $x$. $\left[x\right]{\downarrow }_{x}E$

Литература

• Шаблон:Книга