Пятиугольное число

Геометрическое представление первых пятиугольных чисел

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (Шаблон:OEIS):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Общая формула для $n$-го по порядку пятиугольного числа:

$P_n^{(5)}=\frac{3n^2-n}{2}$

Определение

Пятиугольные числа, как и все прочие классические $k$-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна $k-2=3$:

$1+4+7+10+\dots$

Можно также определить $n$-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

$P_n^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\dots +(2n-1)$

Сумма $n$-го квадратного числа с $(n-1)$-м треугольным числом даёт $n$-е пятиугольное число:

$n^2+T_{n-1}=P_n^{(5)}$

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век).

Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:

$P_1^{(5)}=1;P_n^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n-1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3$

Свойства

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольнымиШаблон:Sfn:

$P_n^{(5)}=\frac{n(3n-1)}{2}=T_{n-1}+n^2=T_n+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}=\frac{1}{3}{T}_{3n-1}$

Если в формуле $\frac{n(3n-1)}{2}$ указать для $n$ более общую последовательность:

$n=0,1,-1,2,-2,3,-3\dots$

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (Шаблон:OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\dots =1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\dots$

Степени $x$ в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел.

Проверка на пятиугольное число

Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число $x>2$ пятиугольным.

Решение. Вычислим значение выражения:

$n=\frac{\sqrt{24x+1}+1}{6}.$

$x$ является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда $n$ — целое число, причём номер $x$ в последовательности пятиугольных чисел равен $n.$

Квадратные пятиугольные числа

Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (Шаблон:OEIS

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Публикация

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:H
  • Шаблон:H