Равномерно распределённая последовательность

Равномерно распределённая последовательность — бесконечная последовательность вещественных чисел $s_1,s_2,\dots ,s_n,\dots$ из заданного интервала $(a;b)$ ($a<b$), в которой в любом ненулевом отрезке $(c;d)$ ($c<d$) доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к отношению длины отрезка $(c;d)$ к длине интервала $(a;b)$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\phi }_n(c,d)}{n}=\frac{d-c}{b-a}$,

где ${\phi }_n(c,d)$ — количество чисел из $s_1,\dots ,s_n$, попавших в $(c;d)$.

Расхождением D_n для последовательности $s_1,s_2,\dots ,s_n,\dots$ на отрезке $[a;b]$ называется величина

$D_n=\underset{a\le c\le d\le b}{\sup }\left|\frac{{\phi }_n(c,d)}{n}-\frac{d-c}{b-a}\right|.$

Последовательность оказывается равнораспределённой, если расхождение D_n стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Равномерное распределение — довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент, не оставляя пробелов. Для получения более строгих критериев и для построения последовательностей, которые распределены более равномерно, см. последовательность с низким расхождением.

Ключевым результатом, касающимся равномерно распределённых последовательностей, является теорема Вейля о равномерном распределении.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга