Разложение Шмидта

Разложение Шмидта — определённого типа выражение для вектора в тензорном произведении двух гильбертовых пространств. По сути является переформулировкой сингулярного разложения для матриц.

Имеет многочисленные приложения в квантовой теории информации, например в запутанности. Hазванo в честь Эрхардa Шмидтa.

Формулировка

Пусть $H_1$ и $H_2$ — гильбертовы пространства от размерностей $m$ и $n$ соответственно. Предположим $m\ge n$. Тогда для любого вектора $w$ в тензорном произведении $H_1\otimes H_2$ существуют ортонормированные наборы векторов $\{u_1,\dots ,u_n\}\subset H_1$ и $\{v_1,\dots ,v_n\}\subset H_2$ такие, что

$w=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i,$

где ${\alpha }_i$ вещественные неотрицательные числа. Более того, мультимножество $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$, однозначно определяется $w$.

Замечания

• Наборы векторов $\{u_1,\dots ,u_n\}\subset H_1$ и $\{v_1,\dots ,v_n\}\subset H_2$ называются базисами Шмидта для $w$.
• Числа $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$ называются коэффициентами Шмидта для $w$.