Рекурсивный МНК

Шаблон:Нет ссылок Рекурсивный или рекуррентный метод наименьших квадратов (МНК) (Шаблон:Lang-en) — применяемая в эконометрике итеративная процедура оценки параметров регрессионной модели. Данный метод применяется при мультиколлинеарности факторов (в этом случае матрица $X^{T}X$ близка к вырожденной и при её обращении могут возникнуть большие вычислительные неточности). Также получающиеся в результате применения рекурсивного МНК (рекурсивные остатки) используются при тестировании стабильности параметров модели.

Описание метода

В данном методе вместо обращения плохо обусловленной матрицы $X^{T}X$ производится расчет матрицы $W_t$ согласно следующей рекуррентной формуле:

$W_t=W_{t-1}-\frac{W_{t-1}{x}_t{x}_t^T{W}_{t-1}}{1+x_t^T{W}_{t-1}{x}_t},t=k+1,...,n$

То есть на каждом шаге вместо обращения производится деление на число. Для «запуска» процедуры нужно задать начальное значение матрицы.

Параметры модели оцениваются согласно следующему рекуррентному соотношению:

${\hat{b}}_t={\hat{b}}_{t-1}+(y_t-x_t^T{\hat{b}}_{t-1})W_t{x}_t$

Выражение в скобках представляет собой ошибку прогноза на один период. Известно, что дисперсия ошибки такого прогноза будет равна ${\sigma }^2(1+x_t^T{W}_{t-1}{x}_t)$, где ${\sigma }^2$ — дисперсия случайных ошибок модели (предполагается классическая регрессионная модель). Для выравнивания дисперсии дисперсий ошибок прогнозов ошибки прогноза делят на квадратный корень из $1+x_t^T{W}_{t-1}{x}_t$. Полученные величины и называют обычно рекурсивными остатками:

$w_t=\frac{y_t-x_t^T{\hat{b}}_{t-1}}{\sqrt{1+x_t^T{W}_{t-1}{x}_t}}$

Если регрессионная модель правильная (то есть соответствует моделируемой зависимости) и выполняются классические предположения, то полученные рекурсивные остатки являются независимыми случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией — $iid(0,{\sigma }^2)$. Это позволяет использовать их для тестирования стабильности параметров модели.

См. также

• CUSUM-тест
• Метод наименьших квадратов